$a\text{)}W\left(x\right)=x^3+2x^2-9x-18=x^2\left(x+2\right)-9\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x^2-9\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)$  

---

---

$b\text{)}W\left(x\right)=2x^4-10x^3-4x^2+20x=2x^3\left(x-5\right)-4x\left(x-5\right)=\left(x-5\right)\left(2x^3-4x\right)=\left(x-5\right)2x\left(x^2-2\right)=$  

$=2x\left(x-5\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$  

---

---

$c\text{)}W\left(x\right)=x^4-18x^2+81$  

Stosujemy podstawienie:

$t=x^2$  

$W\left(t\right)=t^2-18t+81$  

$\Delta ={\left(-18\right)}^2-4\cdot 1\cdot 81=324-324=0,\sqrt{\Delta }=0$  

$t=\frac{18}{2}=9$  

zatem:

$t^2-18t+81={\left(t-9\right)}^2$  

więc:

$x^4-18x^2+81={\left(x^2-9\right)}^2={\left(\left(x-3\right)\left(x+3\right)\right)}^2={\left(x-3\right)}^2{\left(x+3\right)}^2$  

---

---

$d\text{)}W\left(x\right)=-x^4-x^2+2$  

Stosujemy podstawienie:

$t=x^2$  

$W\left(t\right)=-t^2-t+2$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 2=1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$t_1=\frac{1-3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$  

$t_2=\frac{1+3}{-2}=\frac{4}{-2}=-2$  

zatem:

$-t^2-t+2=-\left(t-1\right)\left(t+2\right)$  

więc:

$-x^4-x^2+2=-\left(x^2-1\right)\left(x^2+2\right)=-\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+2\right)$  

---

---

$e\text{)}W\left(x\right)=x^3-3x^2-13x+15$  

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W\left(-15\right)={\left(-15\right)}^3-3\cdot {\left(-15\right)}^2-13\cdot \left(-15\right)+15=-3375-675+195+15\ne 0$  

$W\left(-5\right)={\left(-5\right)}^3-3\cdot {\left(-5\right)}^2-13\cdot \left(-5\right)+15=-125-75+65+15\ne 0$  

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3-3\cdot {\left(-3\right)}^2-13\cdot \left(-3\right)+15=-27-27+39+15=0$  

---

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+3).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+3), stosując algorytm Hornera:

	1	-3	-13	15
-3	1	-6	5	0

---

Zatem:

$W\left(x\right):\left(x+3\right)=x^2-6x+5$  

Oznaczmy:

$P\left(x\right)=x^2-6x+5$  

---

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$\Delta =36-20=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$x=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1\text{lub}x=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$  

---

zatem:

$W\left(x\right)=x^3-3x^2-13x+15=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-5\right)$  

---

---

$f\text{)}W\left(x\right)=x^3-3x^2-3x+14$  

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -14, -7, -2, -1, 2, 7, 14. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W\left(-14\right)={\left(-14\right)}^3-3\cdot {\left(-14\right)}^2-3\cdot \left(-14\right)+14=-2744-588+42+14\ne 0$  

$W\left(-7\right)={\left(-7\right)}^3-3\cdot {\left(-7\right)}^2-3\cdot \left(-7\right)+14=-343-147+21+14\ne 0$  

$W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)+14=-8-12+6+14=0$  

---

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+3), stosując algorytm Hornera:

	1	-3	-3	14
-2	1	-5	7	0

---

Zatem:

$W\left(x\right):\left(x+2\right)=x^2-5x+7$  

Oznaczmy:

$P\left(x\right)=x^2-5x+7$  

---

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$\Delta =25-28=-3<0$  

---

zatem:

$W\left(x\right)=x^3-3x^2-3x+14=\left(x+2\right)\left(x^2-5x+7\right)$