Rozwiąż nierówność...- Zadanie 7.6: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) (x + 6) (x - 3)^{2} > 0$

Oznaczmy:

$W (x) = (x + 6) (x - 3)^{2}$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = - 6 lub x = 3$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 3 wykres odbije się od osi x.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 6, 3) \cup (3, + \infty)$

$b) (x + 2) (x + 5) < 0$

Oznaczmy:

$W (x) = (x + 2)^{2} (x + 5)$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = - 2 lub x = - 5$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba -2 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu -2 wykres odbije się od osi x.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 5)$

$c) (x - 2) (x + 1)^{2} \geq 0$

Oznaczmy:

$W (x) = (x - 2) (x + 1)^{2}$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = 2 lub x = - 1$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu -1 wykres odbije się od osi x.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in {- 1} \cup ⟨ 2, + \infty)$

$d) (x + 4)^{2} (x - 4) \leq 0$

Oznaczmy:

$W (x) = (x + 4)^{2} (x - 4)$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = - 4 lub x = 4$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba -4 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu -4 wykres odbije się od osi x.

$W (x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 4 ⟩$

$e) (x - 3)^{2} x^{2} \geq 0$

Oznaczmy:

$W (x) = (x - 3) x^{2}$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = 3 lub x = 0$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczby 0 i 3 są pierwiastkami dwukrotnymi, więc dla argumentów 0 i 3 wykres odbije się od osi x.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in R$

$f) (x + 1)^{2} (x - 2)^{2} \leq 0$

Oznaczmy:

$W (x) = (x + 1)^{2} (x - 2)^{2}$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = - 1 lub x = 2$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczby -1 i 2 są pierwiastkami dwukrotnymi, więc dla argumentu -1 i 2 wykres odbije się od osi x.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W (x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in {- 1, 2}$

$g) - 3 (x + 3)^{3} (x - 5) < 0$

Oznaczmy:

$W (x) = - 3 (x + 3)^{3} (x - 5)$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = - 3 lub x = 5$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x⁴ jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od dołu.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 3, 5) \cup (5, + \infty)$

$h) - \frac{1}{2} (x + 1)^{2} x^{3} (x - 8) (x + 7)^{2} > 0$

Oznaczmy:

$W (x) = - \frac{1}{2} (x + 1)^{2} x^{3} (x - 8) (x + 7)^{2}$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu W(x):

$x = - 1 lub x = 0 lub x = 8 lub x = - 7$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x⁴ jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od dołu. Liczba -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu -1 wykres odbije się od osi x.