Rozwiąż nierówność...- Zadanie 7.8: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 > 0$

$x^{2} (x + 3) - (x + 3) > 0$

$(x + 3) (x^{2} - 1) > 0$

$(x + 3) (x - 1) (x + 1) > 0$

$x = - 3 lub x = 1 lub x = - 1$

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- 3, - 1) \cup (1, + \infty)$

$b) x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 < 0$

$x^{2} (x - 5) - (x - 5) < 0$

$(x - 5) (x^{2} - 1) < 0$

$(x - 5) (x - 1) (x + 1) < 0$

$x = 5 lub x = 1 lub x = - 1$

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 5)$

$c) x^{3} + 7 x^{2} + 3 x + 21 \geq 0$

$x^{2} (x + 7) + 3 (x + 7) \geq 0$

$(x + 7) (x^{2} + 3) \geq 0 ∣ : (x^{2} + 3) > 0$

$x + 7 \geq 0$

$x \geq - 7$

$x \in ⟨ - 7, + \infty)$

$d) x^{3} - 3 x^{2} + x - 3 < 0$

$x^{2} (x - 3) + (x - 3) < 0$

$(x - 3) (x^{2} + 1) < 0 ∣ : (x^{2} + 1) > 0$

$x - 3 < 0$

$x < 3$

$x \in (- \infty, 3)$

$e) x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 \geq 0$

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) \geq 0$

$(x + 2) (x^{2} - 4) \geq 0$

$(x + 2) (x - 2) (x + 2) \geq 0$

$(x + 2)^{2} (x - 2) \geq 0$

$x = - 2 lub x = 2$

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba -2 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu -2 wykres odbije się od osi x.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in {- 2} \cup ⟨ 2, + \infty)$

$f) x^{3} - x^{2} + x - 1 \geq 0$

$x^{2} (x - 1) + (x - 1) \geq 0$

$(x - 1) (x^{2} + 1) \geq 0 ∣ : (x^{2} + 1) > 0$

$x - 1 \geq 0$

$x \geq 1$

$x \in ⟨ 1, + \infty)$

$g) x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27 \leq 0$

$x^{2} (x - 3) - 9 (x - 3) \leq 0$

$(x^{2} - 9) (x - 3) \leq 0$

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) \leq 0$

$(x - 3)^{2} (x + 3) \leq 0$

$x = 3 lub x = - 3$

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 3 wykres odbije się od osi x.