$x^3+\left(m-2\right)x-3=0$  

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=x^3+\left(m-2\right)x-3$  

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -3, -1, 1, 3. Obliczamy wartości W(x) dla tych argumentów:

$W\left(-3\right)=-27-3\left(m-2\right)-3=-27-3m+6-3=-3m-24$  

$W\left(-1\right)=-1-\left(m-2\right)-3=-1-m+2-3=-m-2$  

$W\left(1\right)=1+m-2-3=m-4$  

$W\left(3\right)=27+3\left(m-2\right)-3=27+3m-6-3=3m+18$  

---

Wielomian W(x) ma pierwiastek całkowity, gdy przynajmniej jedno z powyższych wyrażeń jest równe zero. Stąd:

$W\left(-3\right)=0\text{lub}W\left(-1\right)=0\text{lub}W\left(1\right)=0\text{lub}W\left(3\right)=0$  

$-3m-24=0\text{lub}-m-2=0\text{lub}m-4=0\text{lub}3m+18=0$  

$3m=-24\text{lub}m=-2\text{lub}m=4\text{lub}3m=-18$  

$m=-8\text{lub}m=-2\text{lub}m=4\text{lub}m=-6$  

---

$\text{Odp.}m\in \left\{-8,-6,-2,4\right\}.$