Rozwiąż równanie...- Zadanie 6.16: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) 4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W (x) = 4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x + 3$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W (- 3) = 4 \cdot (- 3)^{3} + 8 \cdot (- 3)^{2} - 11 \cdot (- 3) + 3 = 4 \cdot (- 27) + 8 \cdot 9 + 33 + 3 = 0$

Zatem liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+3).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+3), stosując algorytm Hornera:

	$4$	$8$	$- 11$	$3$
$- 3$	$4$	$- 4$	$1$	$0$

Zatem:

$W (x) : (x + 3) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Oznaczmy:

$P (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$Δ = 16 - 16 = 0, Δ = 0$

$x = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$Odp. x \in {- 3, \frac{1}{2}} .$

$b) 63 x^{3} + 12 x^{2} - 17 x + 2 = 0$

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W (x) = 63 x^{3} + 12 x^{2} - 17 x + 2$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W (- 2) = 63 \cdot (- 2)^{3} + 12 \cdot (- 2)^{2} - 17 \cdot (- 2) + 2 = 63 \cdot (- 8) + 12 \cdot 4 + 34 + 2 = - 504 + 48 + 34 + 2 = - 420 \neq = 0$

$W (- 1) = 63 \cdot (- 1)^{3} + 12 \cdot (- 1)^{2} - 17 \cdot (- 1) + 2 = - 63 + 12 + 17 + 2 = - 32 \neq = 0$

$W (1) = 63 + 12 - 17 + 2 = 60 \neq = 0$

$W (2) = 63 \cdot 2^{3} + 12 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 2 = 63 \cdot 8 + 12 \cdot 4 - 34 + 2 = 504 + 48 - 34 + 2 = 520 \neq = 0$

Żaden z dzielników liczby 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Wielomian W(x) ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że:

$p ∣ 2 \Rightarrow p \in {- 2, - 1, 1, 2}$

$q ∣ 63 \Rightarrow q \in {- 63, - 21, - 9, - 7, - 3, - 1, 1, 3, 7, 9, 21, 63}$

Zatem:

$\frac{p}{q} \in {\pm \frac{2}{63}, \pm \frac{1}{63}, \pm \frac{2}{21}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{2}{9}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm 1}$

Sprawdziliśmy przypadki dla -2, -1, 1, 2, więc zostają nam tylko:

$\frac{p}{q} \in {\pm \frac{2}{63}, \pm \frac{1}{63}, \pm \frac{2}{21}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{2}{9}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{3}}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x):

$W (- \frac{1}{3}) = 63 \cdot (- \frac{1}{3})^{3} + 12 \cdot (- \frac{1}{3})^{2} - 17 \cdot (- \frac{1}{3}) + 2 = - 63 \cdot \frac{1}{27} + 12 \cdot \frac{1}{9} + \frac{17}{3} + 2 = - \frac{7}{3} + \frac{4}{3} + \frac{17}{3} + \frac{6}{3} = 20 - 3 \neq = 0$

$W (\frac{1}{3}) = 63 \cdot (\frac{1}{3})^{3} + 12 \cdot (\frac{1}{3})^{2} - 17 \cdot \frac{1}{3} + 2 = 63 \cdot \frac{1}{27} + 12 \cdot \frac{1}{9} - \frac{17}{3} + 2 = \frac{7}{3} + \frac{4}{3} - \frac{17}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Liczba 1/3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-1/3).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-1/3), stosując algorytm Hornera:

	$63$	$12$	$- 17$	$2$
$\frac{1}{3}$	$63$	$33$	$- 6$	$0$

Zatem:

$W (x) : (x - \frac{1}{3}) = 63 x^{2} + 33 x - 6 = 3 (21 x^{2} + 11 x - 2)$

Oznaczmy:

$P (x) = 21 x^{2} + 11 x - 2$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$Δ = 121 + 168 = 289, Δ = 17$

$x = \frac{- 11 - 17}{42} = - \frac{28}{42} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3} lub x = \frac{- 11 + 17}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

$Odp. x \in {- \frac{2}{3}, \frac{1}{7}, \frac{1}{3}} .$

$c) 50 x^{3} - 15 x^{2} - 9 x + 2 = 0$

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W (x) = 50 x^{3} - 15 x^{2} - 9 x + 2$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W (- 2) = 50 \cdot (- 2)^{3} - 15 \cdot (- 2)^{2} - 9 \cdot (- 2) + 2 = 50 \cdot (- 8) - 15 \cdot 4 + 18 + 2 = - 400 - 60 + 20 \neq = 0$

$W (- 1) = 50 \cdot (- 1)^{3} - 15 \cdot (- 1)^{2} - 9 \cdot (- 1) + 2 = - 50 - 15 + 9 + 2 \neq = 0$

$W (1) = 50 - 15 - 9 + 2 \neq = 0$

$W (2) = 50 \cdot 2^{3} - 15 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 2 = 50 \cdot 8 - 15 \cdot 4 - 18 + 2 = 400 - 60 - 16 \neq = 0$

Żaden z dzielników liczby 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Wielomian W(x) ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że:

$p ∣ 2 \Rightarrow p \in {- 2, - 1, 1, 2}$

$q ∣ 50 \Rightarrow q \in {- 50, - 25, - 10, - 5, - 2, - 1, 1, 2, 5, 10, 25, 50}$

Zatem:

$\frac{p}{q} \in {\pm \frac{1}{50}, \pm \frac{2}{25}, \pm \frac{1}{25}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 1}$

Sprawdziliśmy przypadki dla -2, -1, 1, 2, więc zostają nam tylko:

$\frac{p}{q} \in {\pm \frac{1}{50}, \pm \frac{2}{25}, \pm \frac{1}{25}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{2}}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x):

$W (- \frac{1}{2}) = 50 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - 15 \cdot (- \frac{1}{2})^{2} - 9 \cdot (- \frac{1}{2}) + 2 = 50 \cdot (- \frac{1}{8}) - 15 \cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{2} + 2 = - \frac{25}{4} - \frac{15}{4} + 4 \frac{1}{2} + 2 = - \frac{40}{4} + 2 \frac{1}{2} = - 10 + 2 \frac{1}{2} \neq = 0$

$W (\frac{1}{2}) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^{3} - 15 \cdot (\frac{1}{2})^{2} - 9 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 50 \cdot \frac{1}{8} - 15 \cdot \frac{1}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{25}{4} - \frac{15}{4} - \frac{9}{2} + \frac{4}{2} = \frac{10}{4} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Liczba 1/2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-1/2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-1/2), stosując algorytm Hornera:

	$50$	$- 15$	$- 9$	$2$
$\frac{1}{2}$	$50$	$10$	$- 4$	$0$

Zatem:

$W (x) : (x - \frac{1}{2}) = 50 x^{2} + 10 x - 4 = 2 (25 x^{2} + 5 x - 2)$

Oznaczmy:

$P (x) = 25 x^{2} + 5 x - 2$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$Δ = 25 + 200 = 225, Δ = 15$

$x = \frac{- 5 - 15}{50} = - \frac{20}{50} = - \frac{2}{5} lub x = \frac{- 5 + 15}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

$Odp. x \in {- \frac{2}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2}} .$

$d) 2 x^{4} - 4 x^{3} - 19 x^{2} + 6 x + 24 = 0$

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 19 x^{2} + 6 x + 24$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 . Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W (- 24) = 2 \cdot (- 24)^{4} - 4 \cdot (- 24)^{3} - 19 \cdot (- 24)^{2} + 6 \cdot (- 24) + 24 = 663552 + 55296 - 10944 - 144 + 24 \neq = 0$

$W (- 12) = 2 \cdot (- 12)^{4} - 4 \cdot (- 12)^{3} - 19 \cdot (- 12)^{2} + 6 \cdot (- 12) + 24 = 41472 + 6912 - 2736 - 72 + 24 \neq = 0$

$W (- 8) = 2 \cdot (- 8)^{4} - 4 \cdot (- 8)^{3} - 19 \cdot (- 8)^{2} + 6 \cdot (- 8) + 24 = 8192 + 2048 - 1216 - 48 + 24 \neq = 0$

$W (- 6) = 2 \cdot (- 6)^{4} - 4 \cdot (- 6)^{3} - 19 \cdot (- 6)^{2} + 6 \cdot (- 6) + 24 = 2592 + 864 - 684 - 36 + 24 \neq = 0$

$W (- 4) = 2 \cdot (- 4)^{4} - 4 \cdot (- 4)^{3} - 19 \cdot (- 4)^{2} + 6 \cdot (- 4) + 24 = 512 + 256 - 304 - 24 + 24 \neq = 0$

$W (- 3) = 2 \cdot (- 3)^{4} - 4 \cdot (- 3)^{3} - 19 \cdot (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) + 24 = 162 + 108 - 171 - 18 + 24 \neq = 0$

$W (- 2) = 2 \cdot (- 2)^{4} - 4 \cdot (- 2)^{3} - 19 \cdot (- 2)^{2} + 6 \cdot (- 2) + 24 = 32 + 32 - 76 - 12 + 24 = 0$

Zatem liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+2), stosując algorytm Hornera:

	$2$	$- 4$	$- 19$	$6$	$24$
$- 2$	$2$	$- 8$	$- 3$	$12$	0

Zatem:

$W (x) : (x + 2) = 2 x^{3} - 8 x^{2} - 3 x + 12$

Oznaczmy:

$P (x) = 2 x^{3} - 8 x^{2} - 3 x + 12$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x).

$P (x) = 2 x^{3} - 8 x^{2} - 3 x + 12 = 2 x^{2} (x - 4) - 3 (x - 4) = (2 x^{2} - 3) (x - 4)$

czyli:

$2 x^{2} - 3 = 0 lub x - 4 = 0$

$2 x^{2} = 3 lub x = 04$

$x^{2} = \frac{3}{2}$

$x_{1} = \frac{3}{2} lub x_{2} = - \frac{3}{2}$

$x_{1} \frac{6}{2} lub x_{2} = - \frac{6}{2}$

$Odp. x \in {- 2, - \frac{6}{2}, 4, \frac{6}{2}} .$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności pierwiastków i usuwanie niewymierności z mianownika

Premium

19:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.