$\text{a)}y={\log }_5\left(2x-1\right)$

Obliczmy dziedzinę funkcji. 

Przypomnijmy, że liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem 

$2x-1>0$

$2x>1$

$x>\frac{1}{2}$

więc

$D=\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$

---

$\text{b)}y={\log }_{\frac{1}{3}}\left(5-4x\right)$

Obliczmy dziedzinę funkcji:

$5-4x>0$

$-4x>-5$

$x<\frac{5}{4}$

więc

$D=\left(-\infty ,\frac{5}{4}\right)$  

---

$\text{c)}y={\log }_{0,1}\left(3-x^2\right)$  

Obliczmy dziedzinę funkcji:

$3-x^2>0$

$-x^2>-3$

$x^2<3$

pierwiastkując nierówność stronami dostajemy 

$\left|x\right|<\sqrt{3}$

$x<\sqrt{3}\text{i}x>-\sqrt{3}$

czyli

$x\in \left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$     

więc

$D=\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$  

---

$\text{d)}y=\log \left(2x^2-x+1\right)$  

Obliczmy dziedzinę funkcji:

$2x^2-x+1>0$

znajdziemy pierwiastki równania 

$2x^2-x+1=0$

$\Delta =1-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0$

więc to równanie nie ma rozwiązania, czyli funkcja 

$y=2x^2-x+1$

nie ma miejsc zerowych i jej wykres znajduje się nad osią ox (ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni).

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi 

$2x^2-x+1>0$     

więc

$D=\mathbb{R}$  

---

$\text{e)}y={\log }_{3x}7$

Obliczmy dziedzinę funkcji. 

Przypomnijmy, że podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od 1, czyli 

$3x>0\text{i}3x\ne 1$

$x>0x\ne \frac{1}{3}$

czyli

$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$

więc

$D=\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$  

---

$\text{f)}y={\log }_{x+3}2$

Obliczmy dziedzinę funkcji. 

Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od 1, czyli 

$x+3>0\text{i}x+3\ne 1$

$x>-3x\ne -2$

czyli

$x\in \left(-3,-2\right)\cup \left(-2,+\infty \right)$

więc

$D=\left(-3,-2\right)\cup \left(-2,+\infty \right)$   

---

$\text{g)}y={\log }_{\pi }\left(\left|x-\pi \right|-3\right)$

Obliczmy dziedzinę funkcji. 

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem 

$\left|x-\pi \right|-3>0$

$\left|x-\pi \right|>3$

opuszczając znak wartości bezwzględnej dostajemy 

$x-\pi >3\text{lub}x-\pi <-3$

$x>3+\pi x<-3+\pi$

czyli 

$x\in \left(-\infty ,-3+\pi \right)\cup \left(3+\pi ,+\infty \right)$    

więc

$D=\left(-\infty ,-3+\pi \right)\cup \left(3+\pi ,+\infty \right)$

---

$\text{h)}y=\ln \left(2x^5+5x^4+6x^3+15x^2\right)$

Obliczmy dziedzinę funkcji. 

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem 

$2x^5+5x^4+6x^3+15x^2>0$

$x^2\left(2x^3+5x^2+6x+15\right)>0$

$x^2\left(x^2\left(2x+5\right)+3\left(2x+5\right)\right)>0$

$x^2\left(2x+5\right)\left(x^2+3\right)>0$

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^2\left(2x+5\right)\left(x^2+3\right)=0$    

$x=0\text{lub}2x+5=0\text{lub}{x}^2+3=0$

$x=-\frac{5}{2}{x}^2=-3\text{sprz.}$   

czyli równanie ma dwa pierwiastki  

$x_1=0,x_2=-\frac{5}{2}$

przy czym liczba 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym. 

Szkicujemy wykres funkcji 

$y=2x^5+5x^4+6x^3+15x^2$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\frac{5}{2},0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$    

więc

$D=\left(-\frac{5}{2},0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$