$\text{a)}\left|x^3+4x^2+x-3\right|<3$

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostajemy 

$\text{1)}{x}^3+4x^2+x-3<3\wedge \text{2)}{x}^3+4x^2+x-3>-3$    

Ad.1)

$x^3+4x^2+x-3<3$

$x^3+4x^2+x-6<0$

Znajdziemy pierwiastki równania

$x^3+4x^2+x-6=0$

Zauważmy, że dla x = 1 dostajemy 

$1+4+1-6=0$

zatem liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania. 

Korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3+4x^2+x-6$

jest podzielny przez dwumian x - 1. 

Dzieląc wielomiany np. schematem Hornera dostajemy 

	$1$	$4$	$1$	$-6$
$1$	$1$	$5$	$6$	$0$

więc

$x^3+4x^2+x-6=\left(x-1\right)\left(x^2+5x+6\right)$  

rozwiązując podane równanie dostajemy 

$x^2+5x+6=0$

$\Delta =25-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$

$\sqrt{\Delta }=1$   

więc

$x_1=\frac{-5-1}{2}=-3$

$x_2=\frac{-5+1}{2}=-2$

Równanie ma więc trzy rozwiązania 

$x_1=-3,x_2=-2,x_3=1$

Szkicujemy wykres funkcji 

$y=x^3+4x^2+x-6$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(-2,1\right)$

Ad.2)

$x^3+4x^2+x>0$

$x\left(x^2+4x+1\right)>0$

Znajdziemy pierwiastki równania

$x\left(x^2+4x+1\right)=0$

$x=0\text{lub}{x}^2+4x+1=0$  

rozwiążemy równanie

$x^2+4x+1=0$

$\Delta =16-4\cdot 1\cdot 1=12$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{3}$

więc

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}$       

równanie ma więc trzy rozwiązania 

$x_1=-2-\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3},x_3=0$  

szkicujemy wykres funkcji 

$y=x\left(x^2+4x+1\right)$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2-\sqrt{3};-2+\sqrt{3}\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

 

Z 1) i 2) dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2-\sqrt{3};-3\right)\cup \left(-2;-2+\sqrt{3}\right)\cup \left(0,1\right)$   

---

$\text{b)}\left|x^3-x\right|<6$

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostajemy 

$x^3-x<6\wedge x^3-x>-6$

Ad.1) 

$x^3-x-6<0$  

Znajdziemy pierwiastki równania 

$x^3-x-6=0$

Zauważmy, że dla x = 2 dostajemy 

$2^3-2-6=8-8=0$

więc liczba 2 jest pierwiastkiem równania. 

Korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3-x-6$

jest podzielny przez dwumian x - 2.

Dzieląc wielomiany np. schematem Hornera dostajemy 

	$1$	$0$	$-1$	$-6$
$2$	$1$	$2$	$3$	$0$

 więc

$x^3-x-6=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+3\right)$  

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^2+2x+3=0$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$

więc równanie 

$x^3-x-6=0$

ma jedno rozwiązanie

$x=2$

szkicujemy wykres funkcji

$y=x^3-x-6$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\infty ,2\right)$

Ad.2) 

$x^3-x>-6$  

$x^3-x+6>0$

Znajdziemy pierwiastki równania 

$x^3-x+6=0$

Zauważmy, że dla x = -2 dostajemy 

${\left(-2\right)}^3+2+6=-8+8=0$

więc liczba -2 jest pierwiastkiem równania. 

Korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$x^3-x+6$

jest podzielny przez dwumian x + 2.

Dzieląc wielomiany np. schematem Hornera dostajemy 

	$1$	$0$	$-1$	$6$
$-2$	$1$	$-2$	$3$	$0$

 więc

$x^3-x+6=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)$  

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^2-2x+3=0$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$

więc równanie 

$x^3-x+6=0$

ma jedno rozwiązanie

$x=-2$

szkicujemy wykres funkcji

$y=x^3-x+6$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2,+\infty \right)$

 

Z 1) i 2) dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2;2\right)$  

---

$\text{c)}\left|x^3\right|-3x>6-2x^2$

Rozważmy przypadki:

$\text{1)}x\ge 0$

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymujemy 

$x^3-3x>6-2x^2$     

$x^3+2x^2-3x-6>0$

$x^2\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)>0$

$\left(x+2\right)\left(x^2-3\right)>0$

$\left(x+2\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)>0$

Zauważmy, że pierwiastkami równania 

$\left(x+2\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)=0$

są liczby 

$x_1=-2,x_2=-\sqrt{3},x_3=\sqrt{3}$

szkicujemy wykres funkcji 

$y=x^3+2x^2-3x-6$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

  

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$x\in \left(-2,-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3},+\infty \right)$

pamiętając o założeniu dostajemy 

$x\in \left(\sqrt{3},+\infty \right)$  

$\text{2)}x<0$

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymujemy 

$-x^3-3x>6-2x^2$     

$-x^3+2x^2-3x-6>0$

Znajdziemy pierwiastki równania 

$-x^3+2x^2-3x-6=0$  

Zauważmy, że dla x = - 1 dostajemy 

$-{\left(-1\right)}^3+2\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)-6=1+2+3-6=0$

więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania. 

Korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$-x^3+2x^2-3x-6$

jest podzielny przez dwumian x + 1.

Dzieląc wielomiany np. schematem Hornera dostajemy 

	$-1$	$2$	$-3$	$-6$
$-1$	$-1$	$3$	$-6$	$0$

 więc

$-x^3+2x^2-3x-6=\left(x+1\right)\left(-x^2+3x-6\right)$  

znajdziemy pierwiastki równania 

$-x^2+3x-6=0$

$\Delta =9-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=9-24=-15<0$

więc równanie 

$-x^3+2x^2-3x-6=0$

ma jedno rozwiązanie

$x=-1$

szkicujemy wykres funkcji

$y=-x^3+2x^2-3x-6$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$

pamiętając o założeniu dostajemy 

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$

 

Z 1) i 2) dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(\sqrt{3},+\infty \right)$

---

$\text{d)}{x}^3+\left|x^2-2x\right|>0$

Rozważmy przypadki:

$\text{1)}{x}^2-2x\ge 0\iff x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostajemy 

$x^3+x^2-2x>0$

$x\left(x^2+x-2\right)>0$

Znajdziemy pierwiastki równania 

$x\left(x^2+x-2\right)=0$

$x=0\text{lub}{x}^2+x-2=0$

$\Delta =9$

$x_1=-2,x_2=1$      

równanie ma więc trzy rozwiązania 

$x_1=-2,x_2=0,x_3=1$

szkicujemy wykres funkcji 

$y=x^3+x^2-2x$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

  

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

uwzględniając założenie dostajemy 

$x\in \left(-2,0\right)\cup ⟨2,+\infty )$   

 

$\text{2)}{x}^2-2x<0\iff x\in \left(0,2\right)$

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostajemy 

$x^3-x^2+2x>0$

$x\left(x^2-x+2\right)>0$

znajdziemy pierwiastki równania 

$x\left(x^2-x+2\right)=0$

$x=0\text{lub}{x}^2-x+2=0$

$\Delta =-7<0$

czyli równanie ma jedno rozwiązanie

$x=0$

szkicujemy wykres funkcji 

$y=x\left(x^2-x+2\right)$

z zaznaczonym miejscem zerowym dostajemy 

       

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

$x\in \left(0,\infty \right)$  

pamiętając o założeniu dostajemy 

$x\in \left(0,2\right)$   

 

Z 1) i 2) dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$