$\text{a)}{\left(1-2x\right)}^3{\left(3x+2\right)}^2\left(x-\frac{1}{2}\right)\ge 0$

znajdziemy pierwiastki równania 

${\left(1-2x\right)}^3{\left(3x+2\right)}^2\left(x-\frac{1}{2}\right)=0$

$1-2x=0\text{lub}3x+2=0\text{lub}x-\frac{1}{2}=0$    

$x=\frac{1}{2}x=-\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}$  

pierwiastkami równania są więc liczby 

$x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{1}{2}$

przy czym liczby - ²/₃ i  ¹/₂ to pierwiastki parzystokrotne. 

Szkicujemy wykres funkcji 

$y={\left(1-2x\right)}^3{\left(3x+2\right)}^2\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

z zaznaczonymi miejscami zerowymi (pamiętając, że po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy ujemny współczynnik przy najwyższej potędze). 

Dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left\{-\frac{2}{3};\frac{1}{2}\right\}$  

---

$\text{b)}{\left(x^2+2x\right)}^{10}{\left(x^2-x-6\right)}^5<0$

${\left(x\left(x+2\right)\right)}^{10}{\left(x^2-x-6\right)}^5<0$

$x^{10}{\left(x+2\right)}^{10}{\left(x^2-x-6\right)}^5<0$   

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^{10}{\left(x+2\right)}^{10}{\left(x^2-x-6\right)}^5=0$

$x=0\text{lub}x=-2\text{lub}{x}^2-x-6=0$    

rozwiązując trzecie równanie otrzymujemy 

$x^2-x-6=0$

$\Delta =1-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

więc

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$

$x_2=\frac{1+5}{2}=3$

równanie ma więc trzy pierwiastki 

$x_1=0,x_2=-2,x_3=3$

przy czym liczba 0  jest pierwiastkiem parzystokrotnym. 

Szkicujemy wykres funkcji 

$y={\left(x^2+2x\right)}^{10}{\left(x^2-x-6\right)}^5$  

z zaznaczonymi miejscami zerowymi (pamiętając, że po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy dodatni współczynnik przy najwyższej potędze). 

Dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-2,0\right)\cup \left(0,3\right)$  

---

$\text{c)}x{\left(3x-x^2\right)}^5{\left(x^2-2x-3\right)}^4\le 0$

$x{\left(x\left(3-x\right)\right)}^5{\left(x^2-2x-3\right)}^4\le 0$

$x\cdot x^5{\left(3-x\right)}^5{\left(x^2-2x-3\right)}^4\le 0$

$x^6{\left(3-x\right)}^5{\left(x^2-2x-3\right)}^4\le 0$    

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^6{\left(3-x\right)}^5{\left(x^2-2x-3\right)}^4=0$

$x=0\text{lub}x=3\text{lub}{x}^2-2x-3=0$    

rozwiązując trzecie równanie otrzymujemy 

$x^2-2x-3=0$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

$\sqrt{\Delta }=4$

więc

$x_1=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_2=\frac{2+4}{2}=3$

równanie ma więc trzy pierwiastki 

$x_1=0,x_2=-1,x_3=3$

przy czym liczby -1 i 0  są pierwiastkami parzystokrotnymi. 

Szkicujemy wykres funkcji 

$y=x{\left(3x-x^2\right)}^5{\left(x^2-2x-3\right)}^4$  

z zaznaczonymi miejscami zerowymi (pamiętając, że po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy ujemny współczynnik przy najwyższej potędze). 

Dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in ⟨3,+\infty )\cup \left\{-1,0\right\}$  

---

$\text{d)}{\left(-2x^2-2\sqrt{2}x+x+\sqrt{2}\right)}^7{\left(2x^2+x-1\right)}^9\ge 0$

${\left(-2x\left(x+\sqrt{2}\right)+\left(x+\sqrt{2}\right)\right)}^7{\left(2x^2+x-1\right)}^9\ge 0$

${\left(\left(x+\sqrt{2}\right)\left(-2x+1\right)\right)}^7{\left(2x^2+x-1\right)}^9\ge 0$

${\left(x+\sqrt{2}\right)}^7{\left(-2x+1\right)}^7{\left(2x^2+x-1\right)}^9\ge 0$   

znajdziemy pierwiastki równania 

${\left(x+\sqrt{2}\right)}^7{\left(-2x+1\right)}^7{\left(2x^2+x-1\right)}^9=0$

$x=-\sqrt{2}\text{lub}x=\frac{1}{2}\text{lub}2x^2+x-1=0$    

rozwiązując trzecie równanie otrzymujemy 

$2x^2+x-1=0$

$\Delta =1-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$

$\sqrt{\Delta }=3$

więc

$x_1=\frac{-1-3}{4}=-1$

$x_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}$

równanie ma więc trzy pierwiastki 

$x_1=-\sqrt{2},x_2=\frac{1}{2},x_3=-1$

przy czym liczba ¹/₂ jest pierwiastkiem parzystokrotnym.

Szkicujemy wykres funkcji 

$y={\left(-2x^2-2\sqrt{2}x+x+\sqrt{2}\right)}^7{\left(2x^2+x-1\right)}^9$  

z zaznaczonymi miejscami zerowymi (pamiętając, że po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy ujemny współczynnik przy najwyższej potędze). 

Dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in ⟨-\sqrt{2};-1⟩\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}$  

---

$\text{e)}{\left(-x^2+3x-2\right)}^{2000}{\left(2x^3-3x^2-2x+3\right)}^{2003}<0$

znajdziemy pierwiastki równania 

${\left(-x^2+3x-2\right)}^{2000}{\left(2x^3-3x^2-2x+3\right)}^{2003}=0$

$-x^2+3x-2=0\text{lub}2x^3-3x^2-2x+3=0$    

rozwiązując pierwsze równanie otrzymujemy 

$-x^2+3x-2=0$

$\Delta =9-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=9-8=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

więc

$x_1=\frac{-3-1}{-2}=2$

$x_2=\frac{-3+1}{-2}=1$

rozwiązując drugie równanie otrzymujemy 

$2x^3-3x^2-2x+3=0$  

$x^2\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)=0$

$\left(2x-3\right)\left(x^2-1\right)=0$

$\left(2x-3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0$

$x=\frac{3}{2}\text{lub}x=-1\text{lub}x=1$     

równanie ma więc cztery pierwiastki 

$x_1=2,x_2=1,x_3=\frac{3}{2},x_4=-1$

przy czym liczba 2 jest pierwiastkiem parzystokrotnym.

Szkicujemy wykres funkcji 

$y={\left(-x^2+3x-2\right)}^{2000}{\left(2x^3-3x^2-2x+3\right)}^{2003}$  

z zaznaczonymi miejscami zerowymi (pamiętając, że po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy dodatni współczynnik przy najwyższej potędze). 

Dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1;\frac{3}{2}\right)$  

---

$\text{f)}{\left(12x^3-16x^2+7x-1\right)}^{10}{\left(-10x^2+3x+1\right)}^5>0$

znajdziemy pierwiastki równania 

${\left(12x^3-16x^2+7x-1\right)}^{10}{\left(-10x^2+3x+1\right)}^5=0$

$12x^3-16x^2+7x-1=0\text{lub}-10x^2+3x+1=0$    

rozwiązując pierwsze równanie otrzymujemy 

$12x^3-16x^2+7x-1=0$

Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych. 

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego 

$p\in \left\{\pm 1\right\}$

Wypiszmy dzielniki wyraz przy najwyższej potędze 

$q\in \left\{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 6;\pm 12\right\}$

skąd dostajemy, że jeśli to równanie ma pierwiastek wymierny, to jest nim liczba postaci 

$\frac{p}{q}\in \left\{\pm 1;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{1}{3};\pm \frac{1}{4};\pm \frac{1}{6};\pm \frac{1}{12}\right\}$    

Zauważmy, że dla x  = 1/2 dostajemy 

$12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-16\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+7\cdot \frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}-4+\frac{7}{2}-1=0$  

więc liczba x  = 1/2 jest pierwiastkiem tego równania. 

Korzystając z twierdzenia Bezouta dostajemy, że wielomian 

$12x^3-16x^2+7x-1$

jest podzielny przez dwumian  $x-\frac{1}{2}$

Dzieląc wielomiany np. schematem Hornera dostajemy 

	$12$	$-16$	$7$	$-1$
$\frac{1}{2}$	$12$	$-10$	$2$	$0$

więc

$12x^3-16x^2+7x-1=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(12x^2-10x+2\right)$  

Znajdziemy jeszcze pierwiastki równania 

$12x^2-10x+2$

$\Delta =100-4\cdot 12\cdot 2=100-96=4$    

$\sqrt{\Delta }=2$

więc

$x_1=\frac{10-2}{24}=\frac{1}{3}$

$x_2=\frac{10+2}{24}=\frac{1}{2}$

pierwsze równanie ma więc dwa rozwiązania 

$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{1}{3}$  

rozwiązując drugie równanie otrzymujemy 

$-10x^2+3x+1=0$  

$\Delta =9-4\cdot \left(-10\right)\cdot 1=9+40=49$

$\sqrt{\Delta }=7$

więc

$x_1=\frac{-3-7}{-20}=\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{-3+7}{-20}=-\frac{1}{5}$

    

Rozważane równanie ma więc trzy pierwiastki 

$x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{1}{2},x_3=-\frac{1}{5}$

przy czym liczba ¹/₃ jest pierwiastkiem parzystokrotnym.

Szkicujemy wykres funkcji 

$y={\left(12x^3-16x^2+7x-1\right)}^{10}{\left(-10x^2+3x+1\right)}^5$  

z zaznaczonymi miejscami zerowymi (pamiętając, że po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy ujemny współczynnik przy najwyższej potędze). 

Dostajemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\frac{1}{5},\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$