W konkursie wystartowało...- Zadanie 55: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Zauważmy, że wyniki będą bardziej wyrównanie w klasie, w której odchylenie standardowe otrzymanych wyników było mniejsze.

Obliczmy odchylenie standardowe wyników otrzymanych przez każdą z dwóch klas.

Klasa II a

Obliczmy średnią arytmetyczną wyników uczniów tej klasy

$\overline{x_{a}} = \frac{23 + 22 + 30 + 12 + 45 + 47 + 49 + 28 + 17 + 3 + 18 + 24 + 44 + 48 + 40}{15} = \frac{450}{15} = 30$

Obliczmy odchylenie standardowe tego zestawu

$σ_{a} = \frac{( 23 - 30 ) ^{2} + ( 22 - 30 ) ^{2} + ( 30 - 30 ) ^{2} + ( 12 - 30 ) ^{2} + ( 45 - 30 ) ^{2} + ( 47 - 30 ) ^{2} + ( 49 - 30 ) ^{2} + ( 28 - 30 ) ^{2} + ( 17 - 30 ) ^{2} + ( 3 - 30 ) ^{2} + ( 18 - 30 ) ^{2} + ( 24 - 30 ) ^{2} + ( 44 - 30 ) ^{2} + ( 48 - 30 ) ^{2} + ( 40 - 30 ) ^{2}}{15} =$

$= \frac{( - 7 ) ^{2} + ( - 8 ) ^{2} + 0 + ( - 18 ) ^{2} + 15 ^{2} + 17 ^{2} + 19 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 13 ) ^{2} + ( - 27 ) ^{2} + ( - 12 ) ^{2} + ( - 6 ) ^{2} + 14 ^{2} + 18 ^{2} + 10 ^{2}}{15} =$

$= \frac{49 + 64 + 324 + 225 + 289 + 361 + 4 + 169 + 729 + 144 + 36 + 196 + 324 + 100}{15} = \frac{3014}{15} \approx 14, 18$

Klasa II b

Obliczmy średnią arytmetyczną wyników uczniów tej klasy

$\overline{x_{b}} = \frac{28 + 43 + 49 + 29 + 35 + 38 + 41 + 45 + 33 + 1}{10} = \frac{342}{10} = 34, 2$

Obliczmy odchylenie standardowe tego zestawu

$σ_{b} = \frac{( 28 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 43 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 49 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 29 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 35 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 38 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 41 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 45 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 33 - 34 , 2 ) ^{2} + ( 1 - 34 , 2 ) ^{2}}{10}$

$= \frac{( - 6 , 2 ) ^{2} + 8 , 8 ^{2} + 14 , 8 ^{2} + ( - 5 , 2 ) ^{2} + 0 , 8 ^{2} + 3 , 8 ^{2} + 6 , 8 ^{2} + 10 , 8 ^{2} + ( - 1 , 2 ) ^{2} + ( - 33 , 2 ) ^{2}}{10} =$

$= \frac{38 , 44 + 77 , 44 + 219 , 04 + 27 , 04 + 0 , 64 + 14 , 44 + 46 , 24 + 116 , 64 + 1 , 44 + 1102 , 24}{10} = \frac{1643 , 6}{10} \approx 12, 82$