Wyjaśnij, dlaczego...- Zadanie 53: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy zestaw liczb możemy uporządkować niemalejąco (lub nierosnąco).

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że zestaw liczb x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n z wagami odpowiednio a₁, a₂, ..., a_n-1, a_njest uporządkowany niemalejąco, czyli

$x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n - 1} \leq x_{n}$

Zauważmy, że x_n jest największą liczbą w tym zestawie, przy czym ta wartość może występować więcej niż raz.

Gdyby średnia ważona tego zestawu była większa od największej z liczb (x_n), to otrzymalibyśmy nierówność:

$\frac{a _{1} \cdot x _{1} + a _{2} \cdot x _{2} + \dots + a _{n - 1} \cdot x _{n - 1} + a _{n} \cdot x _{n}}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n}} > x_{n}$

$\frac{a _{1} \cdot x _{1} + a _{2} \cdot x _{2} + \dots + a _{n - 1} \cdot x _{n - 1} + a _{n} \cdot x _{n}}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n}} - x_{n} > 0$

$\frac{a _{1} \cdot x _{1} + a _{2} \cdot x _{2} + \dots + a _{n - 1} \cdot x _{n - 1} + a _{n} \cdot x _{n}}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n}} - \frac{x _{n} ( a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n} )}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n}} > 0$

$\frac{a _{1} ( x _{1} - x _{n} ) \leq 0 + a _{2} ( x _{2} - x _{n} ) \leq 0 + \dots + a _{n - 1} ( x _{n - 1} - x _{n} ) \leq 0 + a _{n} ( x _{n} - x _{n} ) = 0}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n}} > 0$

Zauważmy, że każde z wyrażeń zapisanych w nawiasach w liczniku ułamka po lewej stronie nierówności jest niedodatnie

(ponieważ x₁≤ x₂≤ ...≤ x_n-1≤ x_n).

Z drugiej strony wiadomo, że każda z liczb a₁, a₂, ..., a_n-1, a_njest dodatnia, czyli w liczniku ułamka mamy sumę iloczynów liczb dodatnich i niedodatnich, co łącznie daje liczbę niedodatnią.

Z kolei mianownik ułamka jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby niedodatniej i dodatniej jest liczbą niedodatnią (mniejszą od zera), czyli nierówność

$\frac{a _{1} ( x _{1} - x _{n} ) + a _{2} ( x _{2} - x _{n} ) + \dots + a _{n - 1} ( x _{n - 1} - x _{n} ) + a _{n} ( x _{n} - x _{n} )}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n - 1} + a _{n}} > 0$