a)

Oznaczmy przez x sumę dziewięciu szukanych liczb. 

Wiadomo, że średnia arytmetyczna tego zestawu ma być równa 10,5. 

Skąd dostajemy, że 

$\frac{x}{9}=10,5\mid \cdot 9$

$x=94,5$    

Zatem wystarczy, że wyznaczymy dziewięć liczb, których suma jest równa 94,5, czyli szukany zestaw liczb to np.

$1;1;1;1;1;1;1;1;86,5$  

Sprawdzenie:

$\frac{1+1+1+1+1+1+1+1+86,5}{9}=\frac{94,5}{9}=10,5$  

---

b) 

Zauważmy, że mediana uporządkowanego (niemalejąco) zestawu składającego się z dziewięciu liczb jest równa jego środkowej wartości.

Skoro mediana ma być równa 3, to oznacza, że po uporządkowaniu (niemalejąco) tego zestawu liczba 3 musi stać na piątym miejscu. 

Ponadto skoro dominanta (moda) jest równa 7, to znaczy że liczba 7 musi powtarzać się w zestawie największą ilość razy. 

Zatem zestawem liczb spełniających podane warunki jest np. 

$1;1;2;2;3;7;7;7;7$  

Sprawdzenie:

$M_e=3$

$M_o=7$   

---

c)

Zauważmy, że średnia arytmetyczna będzie mniejsza od dominanty i mediany np. w zestawie liczb:

$1,2,2,2,\underset{\text{wartosˊcˊ sˊrodkowa}}{\underbrace{2,}}2,2,2,2$

Sprawdzenie:

$\overline{x}=\frac{1+2+2+2+2+2+2+2+2}{9}=\frac{17}{9}=1\frac{8}{9}<2$

$M_e=2$

$M_o=2$

---

d)

Zauważmy, że mediana będzie większa od dominanty np. w zestawie liczb:

$1,1,1,1,\underset{\text{wartosˊcˊ sˊrodkowa}}{\underbrace{2}},3,4,5,6$  

Sprawdzenie:

$M_e=2$

$M_o=1$

czyli 

$M_e=2>1=M_o$

---

e) 

Żeby średnia arytmetyczna i mediana zestawu dziewięciu liczb były równe, najłatwiej zacząć od ustalenia mediany tego zestawu. 

Załóżmy, że mediana zestawu jest równa np. a. 

Oznaczmy przez x sumę dziewięciu szukanych liczb. 

Wiadomo, że średnia arytmetyczna tego zestawu ma być równa a. 

Skąd dostajemy, że 

$\frac{x}{9}=a\mid \cdot 9$

$x=9a$    

Zatem w rozważanym przez nas przypadku wystarczy wyznaczyć (uporządkowany niemalejąco) zestaw dziewięciu liczb, w którym:

• suma danych liczb jest równa 9a;
• liczba a musi stoi na piątym miejscu;
• istnieje liczba różna od liczby a, która powtarza się najczęściej. 

Zatem np. dla a  = 7 zestawem liczb spełniającym podane warunki jest

$1;1;1;1;7;8;8;8;28$  

Sprawdzenie:

$\overline{x}=\frac{1+1+1+1+7+8+8+8+28}{9}=\frac{63}{9}=7$

$M_e=7$  

$M_o=1\ne 7$