Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

1. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem x i wysokością ściany bocznej (h) trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa połowie długości krawędzi podstawy, czyli

$x=\frac{a}{2}$  

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym EOS dostajemy 

$\text{tg}\alpha =\frac{x}{H}$

$\frac{1}{4}=\frac{\frac{a}{2}}{H}\mid \cdot 4H$   

$H=2a$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$h^2=H^2+x^2$

$h^2={\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$   

$h^2=4a^2+\frac{a^2}{4}$

$h^2=\frac{17}{4}{a}^2\text{i}h>0$

więc

$h=\frac{\sqrt{17}}{2}a$     

2. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem y i krawędzią boczną trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka y jest równa połowie długości przekątnej kwadratu o boku długości a, czyli

$y=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym OCS dostajemy 

$H^2+y^2=8^2$

${\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=64$

$4a^2+\frac{a^2}{2}=64$

$\frac{9}{2}{a}^2=64\mid :\frac{9}{2}$

$a^2=\frac{128}{9}\text{i}a>0$

więc

$a=\frac{\sqrt{128}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$

Zatem

$H=2a=2\cdot \frac{8\sqrt{2}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$  

$h=\frac{\sqrt{17}}{2}a=\frac{\sqrt{17}}{2}\cdot \frac{8\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{34}}{3}$     

3.  Obliczmy objętość ostrosłupa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{128}{9}\cdot \frac{16\sqrt{2}}{3}=\frac{2048\sqrt{2}}{81}$  

4. Obliczmy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

$P_c=P_p+P_b=a^2+4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=a^2+2ah=\frac{128}{9}+2\cdot \frac{8\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{4\sqrt{34}}{3}=$  

$=\frac{128}{9}+\frac{64\sqrt{68}}{9}=\frac{128+64\cdot 2\sqrt{17}}{9}=\frac{128+128\sqrt{17}}{9}=\frac{128\left(1+\sqrt{17}\right)}{9}$