II liceum

II technikum

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Przypomnijmy, że ostrosłup, w którym podstawa jest wielokątem foremnym i krawędzie boczne mają równe długości, nazywamy ostrosłupem prawidłowym.&nbsp; <hr> a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi&nbsp;

a) Zauważmy, że skoro czworokąty ABCD oraz BFDE są rombami o boku długości a, czyli odcinki AB, BC, CD, AD, DF, BF, DE i BE mają długość a.

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Wiadomo, że&nbsp; sinα=31​ Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" otrzymujemy&nbsp;

Poniżej rysunek siatki graniastosłupa

Przypomnijmy, że ostrosłup, w którym podstawa jest wielokątem foremnym i krawędzie boczne mają równe długości, nazywamy&nbsp;ostrosłupem prawidłowym.&nbsp; <hr> Zauważmy, że skoro ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy a mają być trójkąty prostokątne, to muszą to być przystające trójkąty prostokątne równoramienne, których&nbsp;przeciwprostokątna ma długość a&nbsp;(tak jak to pokazano na rysunku poniżej) <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126409/lQveVveth0pMx92Mwh6FWw%3D%3D_f87107743ffbe009b9ac464ef4811520a64e4e615c49b20741cdb5c49961c218.jpg" alt="" width="317" height="338"> 1. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość krawędzi bocznej b tego ostrosłupa <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/074691a96fc9ea59dca86ae46402db68190396791271acb9c5a2e93dbfa00918_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/074691a96fc9ea59dca86ae46402db68190396791271acb9c5a2e93dbfa00918_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cdc9f773b1571e6b4a79d2568ac526eb384001db6fc4c6033b5c5ce853210829_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cdc9f773b1571e6b4a79d2568ac526eb384001db6fc4c6033b5c5ce853210829_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ebf3c7b3194615b58d3fcb87981f9cefa0d04848e54711e0c107b1f48d13d10f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ebf3c7b3194615b58d3fcb87981f9cefa0d04848e54711e0c107b1f48d13d10f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> więc <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5352cb6a4eb59963cba7582bd993bc3e4bd4652b67faddccbd8c61edadd621ff_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5352cb6a4eb59963cba7582bd993bc3e4bd4652b67faddccbd8c61edadd621ff_big.svg" type="image/svg+xml"></object> 2. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem x i krawędzią boczną (b) trójkąt prostokątny.&nbsp; Długość odcinka x jest równa 2/3 długości wysokości w trójkącie równobocznym o boku długości a, czyli&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd8aabc35f8be7a6b95c894ede148134e747deb51683eb11d890528a3fe4a7bb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd8aabc35f8be7a6b95c894ede148134e747deb51683eb11d890528a3fe4a7bb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4ce55e9dee6347134843742e4c2e02af45ad9deefbe8296b3e3a0dab64be3f1f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4ce55e9dee6347134843742e4c2e02af45ad9deefbe8296b3e3a0dab64be3f1f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c8cb97af341fe68cbbbbefb69d31121e4f615ceb6c344f7e6a62c03d32d42109_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c8cb97af341fe68cbbbbefb69d31121e4f615ceb6c344f7e6a62c03d32d42109_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/536e1aee25d4be817a4657a3f8ff6acef0b6d29d8d1d77f1071ec1012eedd330_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/536e1aee25d4be817a4657a3f8ff6acef0b6d29d8d1d77f1071ec1012eedd330_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2ebcc95d276a3e2b7d6ae2c341f5c0fb467f8f8ad8b30c29e9e44542bc1f2f21_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2ebcc95d276a3e2b7d6ae2c341f5c0fb467f8f8ad8b30c29e9e44542bc1f2f21_big.svg" type="image/svg+xml"></object> więc <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5d5bae34887774c0c836dc6f56bb2e298e85378606b711b00cdbed40e6cd548d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5d5bae34887774c0c836dc6f56bb2e298e85378606b711b00cdbed40e6cd548d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Zatem <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/78c6d63a0f2852e60f59b8b42ce5b0f5d84f3abb6b2c390c10c1922c02b6df1f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/78c6d63a0f2852e60f59b8b42ce5b0f5d84f3abb6b2c390c10c1922c02b6df1f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/18c16d2b21d0a2d0480cd688c4400b71305d7c22faf43ae4c98087d197cb7849_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/18c16d2b21d0a2d0480cd688c4400b71305d7c22faf43ae4c98087d197cb7849_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dff9289f3dba43c27b46d0ae7fac32e2744eaa3ea7f2942a810610618c7ae2a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dff9289f3dba43c27b46d0ae7fac32e2744eaa3ea7f2942a810610618c7ae2a5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34e323b7b6349d0372ce116eb21874d1fae6e31fd17f17348870076b5ed0b393_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34e323b7b6349d0372ce116eb21874d1fae6e31fd17f17348870076b5ed0b393_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Wiadomo, że&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4f9752bbf755df2b464862a77027a6f3c8ea35ab6756c66467f3aa5093920a46_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4f9752bbf755df2b464862a77027a6f3c8ea35ab6756c66467f3aa5093920a46_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" otrzymujemy&nbsp;

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126557/k/YFP8%2BO86vHOffZedF9JA%3D%3D_ef9872f835c07e1a945313fdab8e85350e43d75629d8d81a58681df4947cca6d.jpg" alt="" width="461" height="341"> 1. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem x i wysokością ściany bocznej (h) trójkąt prostokątny.&nbsp; Długość odcinka x jest równa połowie długości krawędzi podstawy, czyli <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cfd6bdcf360d0b0582aa741b5779f3e977dd4354a76c0a2a79ce1531cdf12c8d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cfd6bdcf360d0b0582aa741b5779f3e977dd4354a76c0a2a79ce1531cdf12c8d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym EOS dostajemy&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4e63764d86b7d59db621cfdc46c69842e9d31faaf3100329f8394f2396c1f1c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4e63764d86b7d59db621cfdc46c69842e9d31faaf3100329f8394f2396c1f1c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a044a7af09a2ce65a40055accbbe509ae9d7c0f29e45824a046b402446ef99b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a044a7af09a2ce65a40055accbbe509ae9d7c0f29e45824a046b402446ef99b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/803bf810d9cda1c5092430aced3e57a43c4988d425a492d0f4514e8a3a1d128e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/803bf810d9cda1c5092430aced3e57a43c4988d425a492d0f4514e8a3a1d128e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3ceece10894a8f77087d3b169f9b5968588a91d7cbe937d167ea572f4bb6b636_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3ceece10894a8f77087d3b169f9b5968588a91d7cbe937d167ea572f4bb6b636_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd96f001f7d827497fedfbf9cf3cf6e91a79db6464df76430ae8f856eae0afb9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd96f001f7d827497fedfbf9cf3cf6e91a79db6464df76430ae8f856eae0afb9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3a6fac3235ad406cc84e7acc93e5bdefb3cdeb66e0f567ac7c039c039ca9a33d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3a6fac3235ad406cc84e7acc93e5bdefb3cdeb66e0f567ac7c039c039ca9a33d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aa1017814d6fd90799704344dc8f8856337ba52fa5e1bddcc29b7b67334a1a88_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aa1017814d6fd90799704344dc8f8856337ba52fa5e1bddcc29b7b67334a1a88_big.svg" type="image/svg+xml"></object> więc <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8ba5b0ed6463db80b470d7988b8794fec4234f438f59034be1a507c123199f5a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8ba5b0ed6463db80b470d7988b8794fec4234f438f59034be1a507c123199f5a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; 2. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem y i krawędzią boczną trójkąt prostokątny.&nbsp; Długość odcinka y jest równa połowie długości przekątnej kwadratu o boku długości a, czyli <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0a35ebbd4ee95565deeec69bf605cb6894e11396614d665a0689c828c9f18dc5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0a35ebbd4ee95565deeec69bf605cb6894e11396614d665a0689c828c9f18dc5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym OCS dostajemy&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e5178bbf99e4136608fdc58020086596e31f4525020e1d81890357d37164a06f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e5178bbf99e4136608fdc58020086596e31f4525020e1d81890357d37164a06f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a301963b345a962143f08d5c7e966241cd79d4cce3d1c212571dc93390035d54_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a301963b345a962143f08d5c7e966241cd79d4cce3d1c212571dc93390035d54_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6dea64dc0911afa9c3459a627345d41f53dabbcd16c10f3077b3650fdcae26e0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6dea64dc0911afa9c3459a627345d41f53dabbcd16c10f3077b3650fdcae26e0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9cc02636d562f76e60ba549231cc1dd12e0df6477a5407718c13d818cbb7dae7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9cc02636d562f76e60ba549231cc1dd12e0df6477a5407718c13d818cbb7dae7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1cccab4e4091ee988a24fac02ab0a945c9bfcfa9a4cbfe0227640d4392ecac54_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1cccab4e4091ee988a24fac02ab0a945c9bfcfa9a4cbfe0227640d4392ecac54_big.svg" type="image/svg+xml"></object> więc <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b143570cdb7be02cde006bda2dc14be3bcaa3f538c95f845373886ece87430ee_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b143570cdb7be02cde006bda2dc14be3bcaa3f538c95f845373886ece87430ee_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Zatem <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14d827c9349bae97a07e412dd355e8eb229bf58350fbefb479697b1595340bc3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14d827c9349bae97a07e412dd355e8eb229bf58350fbefb479697b1595340bc3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/782a61b714c6a4511cf84c3c00cbf9c346785b53aaee4763d1a3393b936e10fd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/782a61b714c6a4511cf84c3c00cbf9c346785b53aaee4763d1a3393b936e10fd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; 3.&nbsp;&nbsp;Obliczmy objętość ostrosłupa <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4dd62ffad7ec75222b042e8c19079fd403a1bfc4656563c3ebd11456f8a51d10_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4dd62ffad7ec75222b042e8c19079fd403a1bfc4656563c3ebd11456f8a51d10_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; 4. Obliczmy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8faafd9e29819e22b3389ffdbf01faeb0ff31f5895c1ccd056deb4b0521e8ddd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8faafd9e29819e22b3389ffdbf01faeb0ff31f5895c1ccd056deb4b0521e8ddd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5b9787ecaf395b184c674cc9e8c11fe722279e7555a7beb339d9e167dc7a9b97_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5b9787ecaf395b184c674cc9e8c11fe722279e7555a7beb339d9e167dc7a9b97_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Komentarze