Przypomnijmy, że ostrosłup, w którym podstawa jest wielokątem foremnym i krawędzie boczne mają równe długości, nazywamy ostrosłupem prawidłowym. 

---

a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Zauważmy, że długości odcinków AB, CB i B'B są równe długościom krawędzi sześcianu, czyli 

$\left|AB\right|=\left|CB\right|=\left|\text{B’B}\right|=1$

Odcinki AC, AB', B'C są równe długości przekątnej ściany sześcianu (kwadratu o boku długości 1), czyli 

$\left|AC\right|=\left|AB{}^{\prime }\right|=\left|\text{B’C}\right|=\sqrt{2}$    

Zatem trójkąt ACB' jest równoboczny. 

Czworościan ACB'B ma więc w podstawie wielokąt foremny (trójkąt równoboczny ACB') a jego krawędzie boczne (AB, B'B, CB) mają równe długości, czyli ten czworościan jest prawidłowy. 

Odp. Tak. 

---

b) Rozważmy przypadki:

1. Podstawą ostrosłupa jest jeden z trójkątów równoramiennych którego podstawa ma długość √2, ramię ma długość 1.

2. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości √2.

Ad.1.

Rozważmy rysunek przedstawiony w podpunkcie a).

Niech podstawą ostrosłupa będzie np. trójkąt ABC. 

Zauważmy, że krawędź boczna sześcianu BB' jest prostopadła do podstawy, więc krawędź BB' jest jednocześnie wysokością H w ostrosłupie ABCB' poprowadzoną na podstawę ABC, czyli

$H=\left|BB{}^{\prime }\right|=1$  

Ad. 2.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości √2, krawędzie bocznej mają długość 1 (rysunek poniżej)

Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem x i krawędzią boczną trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa 2/3 długości wysokości w trójkącie równobocznym o boku długości √2, czyli

$x=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

$H^2+x^2=1^2$

$H^2+{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2=1$

$H^2+\frac{6}{9}=1$

$H^2=\frac{3}{9}\text{i}H>0$

więc

$H=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Odp. H = 1 lub H = √3/3. 

---

c) Inne czworościany (niż ten pokazany w zadaniu) uzyskamy wybierając dwa wierzchołki sześcianu leżące na jego przekątnej a pozostałe dwa wierzchołki dobierając tak jak np. pokazano na poniższych rysunkach. 

Ad.1) 

Zauważmy, że jedna z krawędzi czworościanu BCD'C' leży na przekątnej sześcianu o boku długości 1, czyli ma długość √3, dwie krawędzie są równe długości przekątnej ściany sześcianu (kwadratu o boku długości 1), czyli mają długość √2, pozostałe trzy krawędzie są równe długościom krawędzi sześcianu czyli mają długość 1. 

Ad.2) 

Zauważmy, że jedna z krawędzi czworościanu BCD'C' leży na przekątnej sześcianu o boku długości 1, czyli ma długość √3, trzy krawędzie są równe długości przekątnej ściany sześcianu (kwadratu o boku długości 1), czyli mają długość √2, pozostałe dwie krawędzie są równe długościom krawędzi sześcianu czyli mają długość 1. 

Odp. √3, √2, √2, 1, 1, 1 lub √3, √2, √2, √2, 1, 1.