Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o wymiarach 4 x 6. 

Obliczmy długość przekątnej d podstawy

$d^2=4^2+6^2$

$d^2=16+36$

$d^2=52\text{i}d>0$

więc

$d=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$     

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

1. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z przekątną podstawy i krawędzią boczną trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACS dostajemy 

$H^2+{\left(2\sqrt{13}\right)}^2={10}^2$

$H^2+52=100$

$H^2=48\text{i}H>0$

więc

$H=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

2. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ADS dostajemy 

$a^2=H^2+4^2$      

$a^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2+16$

$a^2=48+16$

$a^2=64\text{i}a>0$

więc

$a=8$

3.  Rozważmy trójkąt CDS. 

Zauważmy, że 

${\left|CD\right|}^2+{\left|DS\right|}^2=6^2+a^2=36+8^2=36+64=100$    

$\left|CS\right|={10}^2=100$

Zatem na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt CDS jest prostokątny. 

4. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABS dostajemy 

$b^2=H^2+6^2$      

$b^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2+36$

$b^2=48+36$

$b^2=84\text{i}b>0$

więc

$b=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$  

5. Rozważmy trójkąt BCS. 

Zauważmy, że 

${\left|BC\right|}^2+{\left|BS\right|}^2=4^2+b^2=16+{\sqrt{84}}^2=16+84=100$    

$\left|CS\right|={10}^2=100$

Zatem na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt BCS jest prostokątny. 

6.      

Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

$P_p=4\cdot 6=24$  

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}$

Obliczmy pole powierzchni tego ostrosłupa. 

Zauważmy, że 

$P_b=P_{ADS}+P_{CDS}+P_{BCS}+P_{ABS}=$

$=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{21}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6=$

$=8\sqrt{3}+24+4\sqrt{21}+12\sqrt{3}=20\sqrt{3}+24+4\sqrt{21}$   

więc

$P_c=P_p+P_b=4\cdot 6+\left(20\sqrt{3}+24+4\sqrt{21}\right)=48+20\sqrt{3}+4\sqrt{21}=4\left(12+5\sqrt{3}+\sqrt{21}\right)$