a) Przypomnijmy, że ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. 

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

1. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem x i krawędzią boczną trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa ²/₃ długości wysokości w trójkącie równobocznym o boku długości 6, czyli

$x=\frac{2}{3}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS dostajemy 

$H^2+x^2=4^2$

$H^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=16$

$H^2+12=16$

$H^2=4\text{i}H>0$  

więc

$H=2$

2. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem y i wysokością ściany bocznej (h) trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa ¹/₃ długości wysokości w trójkącie równobocznym o boku długości 6, czyli

$y=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DOS dostajemy 

$H^2+y^2=h^2$

$2^2+{\sqrt{3}}^2=h^2$

$4+3=h^2$

$7=h^2\text{i}h>0$

więc

$h=\sqrt{7}$      

Zatem:

$P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$

$P_b=3\cdot \frac{6\cdot \sqrt{7}}{2}=3\cdot 3\sqrt{7}=9\sqrt{7}$

$P_c=P_p+P_b=9\sqrt{3}+9\sqrt{7}$

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2=6\sqrt{3}$

---

b) Przypomnijmy, że ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. 

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Zauważmy, że wysokość ostrosłupa tworzy z odcinkiem x i wysokością ściany bocznej (h) trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa ¹/₂ długości boku kwadratu ABCD, czyli

$x=\frac{1}{2}\cdot 16=8$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EOS dostajemy 

${15}^2+x^2=h^2$

$225+8^2=h^2$

$225+64=h^2$

$289=h^2\text{i}h>0$

więc

$h=\sqrt{289}=17$      

Zatem:

$P_p={16}^2=256$

$P_b=4\cdot \frac{16\cdot 17}{2}=2\cdot 16\cdot 17=544$

$P_c=P_p+P_b=256+544=800$

 

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 256\cdot 15=1280$   

---

c) Przypomnijmy, że ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. 

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

1. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem x i krawędzią boczną trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa połowie długości dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości 8, czyli

$x=8$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS dostajemy 

$H^2+x^2={17}^2$

$H^2+8^2=289$

$H^2+64=289$

$H^2=225\text{i}H>0$  

więc

$H=15$

2. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa (H) tworzy z odcinkiem y i wysokością ściany bocznej (h) trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka y jest równa połowie długości krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości 8, czyli

$y=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie GOS dostajemy 

$H^2+y^2=h^2$

${15}^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2=h^2$

$225+48=h^2$

$273=h^2\text{i}h>0$

więc

$h=\sqrt{273}$      

Zatem:

$P_p=6\cdot \frac{8^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{64\sqrt{3}}{4}=6\cdot 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$

$P_b=6\cdot \frac{8\cdot \sqrt{273}}{2}=24\sqrt{273}$

$P_c=P_p+P_b=96\sqrt{3}+24\sqrt{273}$

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 96\sqrt{3}\cdot 15=480\sqrt{3}$