$\Rightarrow$  

Udowodnimy, że jeśli w czworokącie wypukłym promienie okręgów opisanych na czterech trójkątach (na które przekątne dzielą czworokąt) są równej długości, to ten czworokąt jest rombem. 

Niech dany będzie czworokąt wypukły ABCD, taki jak na poniższym obrazku:

Załóżmy, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ABS, BCS, CDS i ADS są równe i długość promienia każdego z tych okręgów wynosi R. 

Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ASB dostajemy

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin \alpha }$  

Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie BCS dostajemy

$\frac{b}{\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)}=2R\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)}=\frac{b}{2\sin \alpha }$  

Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie CDS dostajemy

$\frac{c}{\sin \alpha }=2R\Rightarrow R=\frac{c}{2\sin \alpha }$  

Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ADS dostajemy

$\frac{d}{\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)}=2R\Rightarrow R=\frac{d}{2\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)}=\frac{d}{2\sin \alpha }$  

Skąd mamy:

$\frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \alpha }=\frac{c}{2\sin \alpha }=\frac{d}{2\sin \alpha }$  

czyli

$a=b=c=d$   

więc czworokąt ABCD jest rombem. 

---

$\Leftarrow$  

Udowodnimy, że jeśli czworokąt jest rombem, to promienie okręgów opisanych na czterech trójkątach (na które przekątne dzielą czworokąt) są równej długości.

Niech dany będzie romb ABCD, taki jak na poniższym obrazku

 

Niech R₁ będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ABS. 

Korzystając z twierdzenia sinusów w tym trójkącie dostajemy 

$\frac{a}{\sin {90}^{\circ }}=2R_1$

Niech R₂ będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie BCS. 

Korzystając z twierdzenia sinusów w tym trójkącie dostajemy 

$\frac{a}{\sin {90}^{\circ }}=2R_2$

Niech R₃ będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie CDS. 

Korzystając z twierdzenia sinusów w tym trójkącie dostajemy 

$\frac{a}{\sin {90}^{\circ }}=2R_3$

Niech R₄ będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ADS. 

Korzystając z twierdzenia sinusów w tym trójkącie dostajemy 

$\frac{a}{\sin {90}^{\circ }}=2R_4$

więc

$2R_1=2R_2=2R_3=2R_4$  

czyli

$R_1=R_2=R_3=R_4$

 

c.n.d.