Przekątna AC trapezu ABCD...- Zadanie 141: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD mamy

$\frac{∣ A C ∣}{sin 100 ^{\circ}} = \frac{2}{sin 35 ^{\circ}}$

$∣ A C ∣ = \frac{2 \cdot sin 100 ^{\circ}}{sin 35 ^{\circ}} = \frac{2 \cdot sin ( 180 ^{\circ} - 80 ^{\circ} )}{sin 35 ^{\circ}} = \frac{2 \cdot sin 80 ^{\circ}}{sin 35 ^{\circ}} (*)$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

$∣ ∢ D A C ∣ = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 35^{\circ} = 45^{\circ}$

Przypomnijmy, że suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180º, czyli

$∣ ∢ B A D ∣ = 180^{\circ} - ∣ ∢ A D C ∣ = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$

skąd mamy

$∣ ∢ B A C ∣ = 80^{\circ} - 45^{\circ} = 35^{\circ}$

Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC mamy

$\frac{∣ B C ∣}{sin 35 ^{\circ}} = \frac{∣ A C ∣}{sin 45 ^{\circ}} ∣ \cdot sin 35^{\circ}$

$∣ B C ∣ = \frac{∣ A C ∣ \cdot sin 35 ^{\circ}}{sin 45 ^{\circ}} = \frac{∣ A C ∣ \cdot sin 35 ^{\circ}}{\frac{2}{2}} = \frac{2 \cdot ∣ A C ∣ \cdot sin 35 ^{\circ}}{2} = 2 \cdot ∣ A C ∣ \cdot sin 35^{\circ}$

Korzystając z (*) dostajemy

$∣ B C ∣ = 2 \cdot ∣ A C ∣ \cdot sin 35^{\circ} = 2 \cdot \frac{2 \cdot sin 80 ^{\circ}}{sin 35 ^{\circ}} \cdot sin 35^{\circ} = 2 \cdot sin 80^{\circ}$