Wyprowadź wzór na pole...- Zadanie 52: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Zauważmy, że wysokości DE i CF w trapezie równoramiennym ABCD dzielą go na prostokąt i dwa przystające trójkąty prostokątne.

Rozważmy trójkąt np. AED.

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

$t g α = \frac{h}{\frac{a - b}{2}} \Rightarrow h = \frac{( a - b ) t g α}{2}$

Wyznaczmy wzór na pole tego trapezu:

$P = \frac{( a + b ) \cdot h}{2} = \frac{( a + b ) \cdot \frac{( a - b ) t g α}{2}}{2} = \frac{( a + b ) ( a - b ) t g α}{4} = \frac{( a ^{2} - b ^{2} ) t g α}{4}$

b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Zauważmy, że wysokość CE w trapezie prostokątnym ABCD dzieli go na prostokąt i trójkąt prostokątny.

Rozważmy trójkąt BCE.

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

$t g α = \frac{h}{a - b} ∣ \cdot (a - b) \neq = 0$

$(a - b) t g α = h$

$a t g α - b t g α = h$

$- b t g α = h - a t g α ∣ : (- t g α)$

$b = - \frac{h}{t g α} + a$

Wyznaczmy wzór na pole tego trapezu:

$P = \frac{( a + b ) \cdot h}{2} = \frac{( a + ( - \frac{h}{t g α} + a ) ) \cdot h}{2} = \frac{( 2 a - \frac{h}{t g α} ) \cdot h}{2} = \frac{\frac{2 a t g α - h}{t g α} \cdot h}{2} = \frac{( 2 a t g α - h ) \cdot h}{2 t g α}$