a) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Zauważmy, że prosta AB jest dwusieczną narysowanego kąta, więc

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\frac{\alpha }{2}$

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC.

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

 

$\frac{\mathrm{tg}\alpha }{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$   

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora mamy 

$\frac{1}{3}\approx \mathrm{tg}{18,5}^{\circ }$

więc

$\frac{\alpha }{2}\approx {18,5}^{\circ }\Rightarrow \alpha \approx {37}^{\circ }$   

---

b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

$\mathrm{tg}{\beta }_1=\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$   

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\mathrm{tg}{27}^{\circ }\approx 0,5095$

więc

${\beta }_1\approx {27}^{\circ }$   

Rozważmy trójkąt prostokątny ADE. 

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, ponieważ

$\left|AD\right|=\left|DE\right|=2$

skąd dostajemy, że 

${\beta }_2={45}^{\circ }$

Zatem

$\beta ={\beta }_1+{\beta }_2\approx {27}^{\circ }+{45}^{\circ }={72}^{\circ }$

---

c) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

$\mathrm{tg}{\gamma }_1=\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{4}{3}=1,\left(3\right)$   

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\mathrm{tg}{53}^{\circ }\approx 1,3270$

więc

${\gamma }_1\approx {53}^{\circ }$   

Rozważmy trójkąt prostokątny ABD. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

$\mathrm{tg}{\gamma }_2=\frac{\left|BD\right|}{\left|AB\right|}=\frac{2}{3}=0,\left(6\right)$   

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\mathrm{tg}{34}^{\circ }\approx 0,6745$

więc

${\gamma }_2\approx {34}^{\circ }$   

Zatem

$\gamma ={\gamma }_1+{\gamma }_2\approx {53}^{\circ }+{34}^{\circ }={87}^{\circ }$