Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC, w którym

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\alpha$  

Zauważmy, że gdy będziemy zmniejszać miarę kąta ostrego α (jednocześnie nie zmieniając długości przyprostokątnej a, leżącej naprzeciw tego kąta), to druga przeciwprostokątna będzie się wydłużać. W ten sposób otrzymujemy trójkąt AB'C, w którym przeciwprostokątna c' jest dłuższa od przyprostokątnej c w trójkącie ABC. Porównajmy wartości sinusów kątów ostrych α i α':

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$  

$\sin \alpha {}^{\prime }=\frac{a}{c{}^{\prime }}$    

ponieważ w obu ułamkach licznik jest ten sam oraz c < c' to dostajemy, że

$\frac{a}{c}>\frac{a}{c{}^{\prime }}$

czyli

$\sin \alpha >\sin \alpha {}^{\prime }$

dla  α > α'

czyli dostajemy, że wraz ze wzrostem miary kąta ostrego α, wartość sinusa tego kąta rośnie. 

Analogicznie rozumując dostajemy, że wraz ze wzrostem miary kąta ostrego α, wartość cosinusa tego kąta maleje. 

Ponadto zauważmy, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym zachodzi

$\sin \alpha =\cos \alpha$

skąd dostajemy, że

$\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }$

Zatem dla kątów 𝛼 ∈ (0°, 45°) mamy cos𝛼 > sin𝛼 

Zatem dla kątów 𝛼 ∈ (45°, 90°) mamy sin𝛼 > cos𝛼  

---

Korzystając z powyższych faktów dostajemy 

$\text{a)}\sin 2^{\circ }<\sin {18}^{\circ }$

$\text{b)}\sin {15}^{\circ }>\sin {1,5}^{\circ }$

$\text{c)}\cos 4^{\circ }>\cos {74}^{\circ }$

$\text{d)}\cos 3^{\circ }<\cos {0,1}^{\circ }$

$\text{e)}\sin {20}^{\circ }<\cos {20}^{\circ }$

$\text{f)}\sin {50}^{\circ }>\cos {50}^{\circ }$