Zilustrujmy trójkąt opisany w zadaniu:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$   

---

a) Bok b jest 40 razy dłuższy od a, czyli

$b=40a$

więc

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{40a}=\frac{1}{40}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{40a}{a}=40$

---

b) Bok b jest 40 razy krótszy od a, czyli

$b=\frac{1}{40}a$

więc

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{\frac{1}{40}a}=40$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{1}{40}a}{a}=\frac{1}{40}$

---

c) Bok b jest o 40% dłuższy od a, czyli

$b=140\%a=\frac{140}{100}a=\frac{7}{5}a$

więc

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{\frac{7}{5}a}=\frac{5}{7}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{7}{5}a}{a}=\frac{7}{5}$

---

d) Bok b jest o 40% krótszy od a, czyli

$b=60\%a=\frac{60}{100}a=\frac{3}{5}a$

więc

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{\frac{3}{5}a}=\frac{5}{3}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{3}{5}a}{a}=\frac{3}{5}$

---

e) Bok stanowi 40% długości a, czyli

$b=40\%a=\frac{40}{100}a=\frac{2}{5}a$

więc

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{\frac{2}{5}a}=\frac{5}{2}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{2}{5}a}{a}=\frac{2}{5}$

---

f) Bok c jest o 40% dłuższy od a, czyli

$c=140\%a=\frac{140}{100}a=\frac{7}{5}a$

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy

$a^2+b^2=c^2$

$a^2+b^2={\left(\frac{7}{5}a\right)}^2$

$a^2+b^2=\frac{49}{25}{a}^2$

$b^2=\frac{24}{25}{a}^2\text{i}b>0$

czyli

$b=\frac{\sqrt{24}}{5}a=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$

więc

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{\frac{2\sqrt{6}}{5}a}=\frac{5}{2\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{12}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}a}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$