a) Zauważmy, że narysowany trójkąt ma przyprostokątne długości 4 i 8. 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie

$x^2=4^2+8^2$

$x^2=16+64$

$x^2=80\text{i}x>0$

$x=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

Korzystając z danych na rysunku zauważmy, że

$\sin \alpha =\cos \beta =\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \alpha =\sin \beta =\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$   

---

b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Korzystając z tw. Pitagorasa dostajemy 

$\text{1)}{x}^2=2^2+4^2$

$x^2=4+16$

$x^2=20\text{i}x>0$

$x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$\text{2)}{y}^2=4^2+8^2$

$y^2=16+64$

$y^2=80\text{i}y>0$  

czyli

$y=4\sqrt{5}$

Korzystając z danych na rysunku zauważmy, że

$\sin \alpha =\cos \beta =\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \alpha =\sin \beta =\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$   

---

c) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi:

Korzystając z tw. Pitagorasa dostajemy 

$\text{1)}{x}^2=2^2+3^2$

$x^2=4+9$

$x^2=13\text{i}x>0$

$x=\sqrt{13}$

$\text{2)}{y}^2=4^2+6^2$

$y^2=16+36$

$y^2=52\text{i}y>0$  

czyli

$y=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

$\text{3)}{x}^2+y^2=z^2$

${\sqrt{13}}^2+{\sqrt{52}}^2=z^2$

$13+52=z^2$

$65=z^2\text{i}z>0$

więc

$z=\sqrt{65}$      

Korzystając z danych na rysunku zauważmy, że

$\sin \alpha =\cos \beta =\frac{y}{z}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \alpha =\sin \beta =\frac{x}{z}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$