a) Zauważmy, że ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, to spodek wysokości D jest środkiem podstawy AB, czyli

$\left|AB\right|=2\cdot \left|AD\right|=2b$   

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P_{ABC}=\frac{2b\cdot a}{2}=ab$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość c ramienia trójkąta ABC:

$c^2=a^2+b^2\text{i}c>0$

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Zauważmy, że 

$P_{ABC}=\frac{\left|BC\right|\cdot \mid AE}{2}$

skąd mamy

 

$ab=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot \left|AE\right|}{2}\mid \cdot 2$       

$2ab=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \left|AE\right|\mid :\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)$  

$\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\left|AE\right|$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AEB dostajemy 

${\left|AE\right|}^2+{\left|BE\right|}^2={\left|AB\right|}^2$

${\left(\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left|EB\right|}^2={\left(2b\right)}^2$

$\frac{4a^2{b}^2}{a^2+b^2}+{\left|EB\right|}^2=4b^2$

${\left|EB\right|}^2=4b^2-\frac{4a^2{b}^2}{a^2+b^2}$

${\left|EB\right|}^2=\frac{4b^2\left(a^2+b^2\right)-4a^2{b}^2}{a^2+b^2}$      

${\left|EB\right|}^2=\frac{4a^2{b}^2+4b^4-4a^2{b}^2}{a^2+b^2}\text{i}\left|EB\right|>0$

${\left|EB\right|}^2=\frac{4b^4}{a^2+b^2}\text{i}\left|EB\right|>0$  

więc

$\left|EB\right|=\frac{2b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$   

skąd dostajemy 

$\left|EC\right|=\left|BC\right|-\left|EB\right|=\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=$  

$=\frac{a^2+b^2-2b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$  

c.n.d.

---

b) Rozważmy trójkąt prostokątny AEC. 

Korzystając z określenia funkcji tangens w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{\left|AE\right|}{\left|CE\right|}=\frac{\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}$  

Rozważmy trójkąt prostokątny ACD. 

Korzystając z określenia funkcji tangens w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{b}{a}$

skąd dostajemy, że

$\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\cdot \frac{b}{a}}{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\frac{\frac{2b}{a}}{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\frac{2b}{a}}{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=$    

$=\frac{2b}{a}\cdot \frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}$  

Zatem:

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$  

c.n.d.

---

c) Na rysunku nie został zaznaczony kąt 𝛽, dlatego nie jesteśmy w stanie uzasadnić podanego wyrażenia.