a) Oznaczmy długość drugiej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego przez y. 

Zauważmy, że korzystając z określenia funkcji tangens w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\mathrm{tg}\beta =\frac{y}{2}$

$1,5=\frac{y}{2}\mid \cdot 2$

$3=y$

Skąd otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x+2}$  

$0,6=\frac{3}{x+2}$

$\frac{3}{5}=\frac{3}{x+2}\mid \cdot 5\cdot \left(x+2\right)$  

$3\left(x+2\right)=15$

$3x+6=15$

$3x=9\backslash \mid :3$

$x=3$     

---

b) Wprowadźmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku:

Zauważmy, że korzystając z określenia funkcji tangens w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{5}}{h}$

$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{h}$

więc

$h=2$

Skąd otrzymujemy

$\mathrm{tg}\beta =\frac{y}{h}$

$\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{y}{2}$

więc

$y=3\sqrt{2}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy

$h^2+y^2=x^2$

$2^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=x^2$

$4+18=x^2$

$22=x^2\text{i}x>0$

więc

$x=\sqrt{22}$

---

c) Oznaczmy przez y długość drugiej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego.     

Zauważmy, że korzystając z określenia funkcji tangens w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\mathrm{tg}\left(\alpha +\beta \right)=\frac{4}{y}$

$0,75=\frac{4}{y}$

$\frac{3}{4}=\frac{4}{y}\mid \cdot 4\cdot y,y\ne 0$

$3y=16\mid :3$

$y=\frac{16}{3}$      

Skąd otrzymujemy

   $\mathrm{tg}\beta =\frac{x}{y}$

$0,4=\frac{x}{\frac{16}{3}}$

$\frac{2}{5}=x\cdot \frac{3}{16}\mid :\frac{3}{16}$

$\frac{2}{5}\cdot \frac{16}{3}=x$

czyli

$x=\frac{32}{15}=2\frac{2}{15}$