Przypomnijmy, że tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie, co symbolicznie możemy zapisać:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$  

---

a) Zauważmy, że w narysowanym trójkącie krótsza przyprostokątna ma długość 3, a dłuższa przyprostokątna ma długość 6.

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{6}{3}=2$

---

b) Zauważmy, że w narysowanym trójkącie krótsza przyprostokątna ma długość 3, a dłuższa przyprostokątna ma długość 5.

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{5}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{5}{3}$

---

c) Zauważmy, że w narysowanym trójkącie krótsza przyprostokątna ma długość 2, a dłuższa przyprostokątna ma długość 6.

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{6}{2}=3$

---

d) Zauważmy, że w narysowanym trójkącie obie przyprostokątne mają długość 5, zatem

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\beta =\frac{5}{5}=1$

---

e) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przyprostokątnych w narysowanym trójkącie:

$\text{1)}{x}^2=2^2+2^2$

$x^2=4+4$

$x^2=8\text{i}x>0$

$x=2\sqrt{2}$

$\text{2)}{y}^2=5^2+5^2$

$y^2=25+25$

$y^2=50\text{i}y>0$

$y=5\sqrt{2}$

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{5}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{5}{2}$

---

f) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przyprostokątnych w narysowanym trójkącie:

$\text{1)}{x}^2=2^2+3^2$

$x^2=4+9$

$x^2=13\text{i}x>0$

$x=\sqrt{13}$

$\text{2)}{y}^2=2^2+3^2$

$y^2=4+9$

$y^2=13\text{i}y>0$

$y=\sqrt{13}$

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\beta =\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=1$

---

g) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przyprostokątnych w narysowanym trójkącie:

$\text{1)}{x}^2=3^2+3^2$

$x^2=9+9$

$x^2=18\text{i}x>0$

$x=3\sqrt{2}$

$\text{2)}{y}^2=4^2+4^2$

$y^2=16+16$

$y^2=32\text{i}y>0$

$y=4\sqrt{2}$

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{4}$

---

h) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przyprostokątnych w narysowanym trójkącie:

$\text{1)}{x}^2=2^2+4^2$

$x^2=4+16$

$x^2=20\text{i}x>0$

$x=2\sqrt{5}$

$\text{2)}{y}^2=3^2+6^2$

$y^2=9+36$

$y^2=45\text{i}y>0$

$y=3\sqrt{5}$

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{2}$

$\mathrm{tg}\beta =\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$