Przypomnijmy, że liczba przekątnych w n-kącie wyraża się wzorem:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

---

a) Wprowadźmy oznaczenia:

2n - liczba boków wielokąta (n ∈  N, n ≥ 3);

n - liczba przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka. 

Liczba wszystkich przekątnych w tym wielokącie jest więc równa:

$n\cdot n=n^2$

Korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych w wielokącie dostajemy:

$n^2=\frac{2n\left(2n-3\right)}{2}\mid \cdot 2$

$2n^2=4n^2-6n$

$-2n^2+6n=0$

$n\left(-2n+6\right)=0$

$n=0\text{(sprz.)}\text{lub}-2n+6=0$

$n=3$       

Obliczmy liczbę boków tego wielokąta

$2n=2\cdot 3=6$

czyli szukanym wielokątem jest sześciokąt.

---

b) Wprowadźmy oznaczenia:

n - liczba boków wielokąta (n ∈  N, n ≥ 3);

n - liczba wszystkich przekątnych wielokąta.

Korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych w wielokącie dostajemy:

$n=\frac{n\left(n-3\right)}{2}\mid \cdot 2$

$2n=n^2-3n$

$-n^2+5n=0$

$n\left(-n+5\right)=0$

$n=0\text{(sprz.)}\text{lub}-n+5=0$

$n=5$       

szukanym wielokątem jest więc pięciokąt. 

---

c) Zauważmy, że jeśli w pewnym n-kącie liczba przekątnych jest większa od liczby boków to musi zachodzić:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}>n\mid \cdot 2$

$n\left(n-3\right)>2n$

$n^2-3n>2n$

$n^2-5n>0$

$n\left(n-5\right)>0$

więc

$n\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(5,+\infty \right)$  

Uwzględniając fakt, że n ∈ N , n ≥ 3 dostajemy, że warunki zadania spełniają wielokąty o liczbie boków n takiej, że:

$n\ge 6$      

czyli wielokąty mające przynajmniej 6 boków.