Bez straty ogólności możemy przyjąć, że a > b. 

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi:

Trapez jest opisany na okręgu zatem sumy długości przeciwległych boków są równe, czyli  

$a+b=c+d$

$a+b-c=d\left(\text{*}\right)$

Niech CE będzie wysokością poprowadzoną na podstawę AB. 

Zauważmy, że dzieli ona trapez na prostokąt i trójkąt prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym EBC dostajemy

$c^2+{\left(a-b\right)}^2=d^2$  

Korzystając z (*) mamy

$c^2+{\left(a-b\right)}^2={\left(a+b-c\right)}^2$

${\cancel{c}}^2+a^2-2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2-2\left(a+b\right)\cdot c+{\cancel{c}}^2$  

${\cancel{a}}^2-2ab+{\cancel{b}}^2={\cancel{a}}^2+2ab+{\cancel{b}}^2-2\left(a+b\right)\cdot c$

$-4ab=-2\left(a+b\right)\cdot c\mid :\left(-2\left(a+b\right)\right)\ne 0$

$\frac{-4ab}{-2\left(a+b\right)}=c$    

$\frac{2ab}{a+b}=c$

skąd mamy

$d=a+b-c=a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{{\left(a+b\right)}^2}{a+b}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$  

 

Odp. Pozostałe boki tego trapezu mają długość:

$\frac{2ab}{a+b},\frac{a^2+b^2}{a+b}$