Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi:

Zauważmy, że każdy kąt sześciokąta foremnego ma miarę:

$\frac{\left(6-2\right)\cdot {180}^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot {180}^{\circ }}{6}=\frac{2\cdot {180}^{\circ }}{3}=\frac{{360}^{\circ }}{3}={120}^{\circ }$

Zatem

$\left|\sphericalangle DEF\right|={120}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt DEF. 

Zauważmy, że jest trójkąt równoramienny, ponieważ:

$\left|DE\right|=\left|EF\right|=10$  

Zauważmy, że wysokość EP dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o kątach 30º, 60º i 90º. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30º, 60º i 90º dostajemy

$\left|PE\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|DE\right|=\frac{1}{2}\cdot 10=5$

$\left|DP\right|=\left|PF\right|=\frac{\left|DE\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Obliczmy pole trójkąta DEF:

$P_{DEF}=\frac{10\sqrt{3}\cdot 5}{2}=25\sqrt{3}$

Rozważmy trójkąt prostokątny EFG. 

Zauważmy, że kąty DEF i FEG to kąty przyległe, więc ich suma jest równa 180º, skąd dostajemy

$\left|\sphericalangle FEG\right|={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$

Zatem trójkąt EFG jest trójkątem o kątach 30º, 60º i 90º. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30º, 60º i 90º dostajemy

$\left|FG\right|=\left|EF\right|\cdot \sqrt{3}=10\sqrt{3}$

Obliczmy pole trójkąta EFG:

$P_{EFG}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$

Zauważmy, że pole trójkąta DFG jest równe sumie pól trójkątów DEF i EFG, skąd mamy:

$P_{DFG}=25\sqrt{3}+50\sqrt{3}=75\sqrt{3}$