II liceum

II technikum

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.&nbsp;

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego z punktu styczności. Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.&nbsp;

a) W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy długości przeciwległych boków wielokąta są równe. Obliczamy obwód tego czworokąta. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5c6fc9d5248ac75bf6bb0f12fa9e775c260ad6288e1bd6708c490600fecd59b2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5c6fc9d5248ac75bf6bb0f12fa9e775c260ad6288e1bd6708c490600fecd59b2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odp.&nbsp;Obwód czworokąta jest równy 36. <hr> b) W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy długości przeciwległych boków wielokąta są równe. Obliczamy obwód tego czworokąta. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/60a7fe9dc246a8e07d2d7dfcf0a8aa31fb33c59f0c5194c6ff4225e5e5e36106_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/60a7fe9dc246a8e07d2d7dfcf0a8aa31fb33c59f0c5194c6ff4225e5e5e36106_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odp.&nbsp;Obwód czworokąta jest równy 42. <hr> c)&nbsp;Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. <img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/203824/str._169_-_7c.jpg" alt="" width="222" height="241"> Z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że długość odcinka x wynosi 7. W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy długości przeciwległych boków wielokąta są równe. Obliczamy obwód tego czworokąta. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d7afa077cc3cd89f82289f40926283aaa8b83700abb963bf160982d33083b81a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d7afa077cc3cd89f82289f40926283aaa8b83700abb963bf160982d33083b81a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odp.&nbsp;Obwód czworokąta jest równy 38.

a) W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Sprawdzamy, czy sumy długości przeciwległych boków są równe.&nbsp;

Długości boków czworokąta oznaczmy jako:&nbsp;

Rysujemy trójkąt równoramienny ABC, w którym |AB|=|BC|.
<img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/204199/str._169_-_10.jpg" alt="" width="444" height="271">
Konstruujemy symetralną odcinka AC.
1. Z punktu A po obu stronach odcinka AC kreślimy łuki (o promieniu większym niż połowa długości odcinka).

Z zadania 9 ze strony 163 wiemy, że na trapezie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy trapez ten jest równoramienny.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. <img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/204330/str._169_-_12.jpg" width="255" height="240"> W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Wynika stąd, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/692e995a7c5b820bcb14301f4c9fe321db145ba58be1d9f64643b9e89a8dc02b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/692e995a7c5b820bcb14301f4c9fe321db145ba58be1d9f64643b9e89a8dc02b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Pole czworokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia tego okręgu przez połowę obwodu tego czworokąta. Wobec tego: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cdc27f24a1b6eef675f28e265c855aca075be7a53747eb68c8bacedfff0a508c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cdc27f24a1b6eef675f28e265c855aca075be7a53747eb68c8bacedfff0a508c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Co należało dowieść.

Promień koła wpisanego w wielokąt o obwodzie 2p oznaczmy przez r. Stosunek obwodu koła do obwodu wielokąta opisanego na tym kole jest równy:&nbsp;

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. <img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/204332/str._169_-_14.jpg" alt="" width="400" height="310"> <hr> Mamy dane: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1fa5fee24fbccaea16ab013be9a98b47b27ecf35e748603b076a8331e7bd8a64_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1fa5fee24fbccaea16ab013be9a98b47b27ecf35e748603b076a8331e7bd8a64_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3c519063467a2c016c5eceaa982ad8a69b0b0c903a81d8fba0963e552727ba86_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3c519063467a2c016c5eceaa982ad8a69b0b0c903a81d8fba0963e552727ba86_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

a) Pole wielokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia tego okręgu przez połowę obwodu tego wielokąta. Obliczamy pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 8 i 15. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9becd7a474ee708d4a02d8f9216a84cf62fde6f310f58222425529821cd32c7e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9becd7a474ee708d4a02d8f9216a84cf62fde6f310f58222425529821cd32c7e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.&nbsp;

Komentarze