Załóżmy, że ramiona KN oraz MN trójkąta KMN mają długość 13, a ramiona KL oraz ML trójkąta KML mają długość 20.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

---

Z twierdzenia Pitagorasa:

${12}^2+x^2={13}^2$  

$144+x^2=169\mid -144$  

$x^2=25$  

$x=5$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa:

${12}^2+y^2={20}^2$  

$144+y^2=400\mid -144$  

$y^2=256$  

$y=16$  

---

Pole czworokąta KLMN jest równe sumie pól trójkątów KML oraz KMN.

$P_{KLMN}=P_{KML}+P_{KMN}=\frac{\left|KM\right|\cdot y}{2}+\frac{\left|KM\right|\cdot x}{2}=\frac{24\cdot 16}{2}+\frac{24\cdot 5}{2}=192+60=252$  

---

Pole wielokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia tego okręgu przez połowę obwodu wielokąta. Długość promienia wpisanego w czworokąt KLMN oznaczmy jako r. Możemy więc zapisać:

$252=r\cdot \frac{\left|KL\right|+\left|LM\right|+\left|MN\right|+\left|NK\right|}{2}$  

$252=r\cdot \frac{20+20+13+13}{2}$  

$252=r\cdot \frac{66}{2}$  

$252=r\cdot 33\mid :33$  

$252=r\cdot 33\mid :33$  

$\frac{84}{11}=r$  

$r=7\frac{7}{11}$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w czworokąt KLMN ma długość 7 7/11.