Określ, dla jakich wartości...- Zadanie 1.45: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) x^{2} + 2 x + m > 0$

Aby zbiór liczb rzeczywistych był rozwiązaniem tej nierówności musi być spełniony warunek:

$Δ < 0$

zatem:

$2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m < 0$

$4 - 4 m < 0$

$- 4 m < - 4$

$m > 1$

więc zbiór liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem tej nierówności dla:

$m \in (1, + \infty)$

$b) x^{2} - m x + 3 > 0$

Aby zbiór liczb rzeczywistych był rozwiązaniem tej nierówności musi być spełniony warunek:

$Δ < 0$

zatem:

$(- m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 < 0$

$m^{2} - 12 < 0$

$(m - 23) (m + 23) < 0$

więc zbiór liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem tej nierówności dla:

$m \in (- 23, 23)$

$c) m x^{2} + 4 m x \leq 0$

Aby zbiór liczb rzeczywistych był rozwiązaniem tej nierówności muszą być spełnione warunki:

zatem:

$2) {m < 0 (4 m)^{2} - 4 \cdot m \cdot 0 \leq 0$

${m < 0 16 m^{2} \leq 0$

${m < 0 m^{2} \leq 0$

${m < 0 m = 0$

zatem: $m \in \emptyset$

więc zbiór liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem tej nierówności dla:

$m = 0$

$d) (m - 1)^{2} x^{2} + 4 < 0$

Aby zbiór liczb rzeczywistych był rozwiązaniem tej nierówności muszą być spełnione warunki:

${(m - 1)^{2} < 0 Δ < 0$

${(m \in \emptyset Δ < 0$

Ta nie równość nie jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą dla żadnej liczby m.

$e) m x^{2} + (m - 1) x + m - 1 < 0$

Aby zbiór liczb rzeczywistych był rozwiązaniem tej nierówności muszą być spełnione warunki:

zatem:

$1) ⎩ ⎨ ⎧ m = 0 m - 1 = 0 m - 1 < 0$

$⎩ ⎨ ⎧ m = 0 m = 1 m < 1$

zatem:

$m \in \emptyset$

$2) {m < 0 Δ < 0$

$2) {m < 0 (m - 1)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m - 1) < 0$

${(m < 0), ((m^{2} - 2 m + 1 - 4 m^{2} + 4 m < 0)$

${(m < 0), ((- 3 m^{2} + 2 m + 1 < 0)$

Rozwiążmy nierówność:

$- 3 m^{2} + 2 m + 1 < 0$

$Δ_{m} = 2^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1 = 4 + 12 = 16$

$Δ_{m} = 4$

$m_{1} = \frac{- 2 - 4}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 6}{- 6} = 1$

$m_{2} = \frac{- 2 + 4}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{2}{- 6} = - \frac{1}{3}$

zatem:

$m \in (- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

stąd:

${m < 0 m \in (- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

więc zbiór liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem tej nierówności dla:

$m \in (- \infty, - \frac{1}{3})$

$f) (5 - m) x^{2} - 2 (1 - m) x + 2 (1 - m) < 0$

Aby zbiór liczb rzeczywistych był rozwiązaniem tej nierówności muszą być spełnione warunki:

zatem:

$1) ⎩ ⎨ ⎧ 5 - m = 0 - 2 (1 - m) = 0 2 (1 - m) < 0$

$⎩ ⎨ ⎧ m = 5 m = 1 m > 1$

zatem:

$m \in \emptyset$

$2) {5 - m < 0 Δ < 0$

$2) {m > 5 (- 2 (1 - m))^{2} - 4 \cdot (5 - m) \cdot (2 (1 - m)) < 0$

${m > 5 4 (1 - m)^{2} - 4 (5 - m) (2 - 2 m) < 0$

${m > 5 4 (1 - 2 m + m^{2}) - 4 (10 - 10 m - 2 m + 2 m^{2}) < 0$

${m > 5 4 - 8 m + 4 m^{2} - 40 + 40 m + 8 m - 8 m^{2} < 0$

${m > 5 - 4 m^{2} + 40 m - 36 < 0$

${m > 5 - m^{2} + 10 m - 9 < 0$

Rozwiążmy nierówność:

$- m^{2} + 10 m - 9 < 0$

$Δ_{m} = 10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9) = 100 - 36 = 64$

$Δ_{m} = 8$

$m_{1} = \frac{- 10 - 8}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 18}{- 2} = 9$

$m_{2} = \frac{- 10 + 8}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

zatem:

$m \in (- \infty, 1) \cup (9, + \infty)$

stąd:

${m > 5 m \in (- \infty, 1) \cup (9, + \infty)$

więc zbiór liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem tej nierówności dla:

$m \in (9, + \infty)$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste.

Premium

13:42

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania - zadania tekstowe

Premium

12:10

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.