$a\text{)}f\left(x\right)=\sqrt{x^2-mx+m+3}$  

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji:

$x^2-mx+m+3\ge 0$  

Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych musi być spełniony warunek:  

$\Delta \le 0$  

${\left(-m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m+3\right)\le 0$  

$m^2-4m-12\le 0$  

${\Delta }_m={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=16+48=64$  

${\sqrt{\Delta }}_m=8$  

$m_1=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$m_2=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6$  

zatem:

$m\in ⟨-2,6⟩$  

---

$b\text{)}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-mx+m+3}}$  

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji:

$x^2-mx+m+3>0$  

Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych musi być spełniony warunek:

$\Delta <0$  

${\left(-m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m+3\right)<0$  

$m^2-4m-12<0$  

${\Delta }_m={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=16+48=64$  

${\sqrt{\Delta }}_m=8$  

$m_1=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$m_2=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6$  

zatem:

$m\in \left(-2,6\right)$  

---

$c\text{)}f\left(x\right)=\sqrt{m{x}^2-\left(m+1\right)x+1}$   

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji:

$m{x}^2-\left(m+1\right)x+1\ge 0$  

Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych musi być spełniony warunek:

$\Delta \le 0$  

${\left(-\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot m\cdot 1\le 0$  

${\left(m+1\right)}^2-4m\le 0$  

$m^2+2m+1-4m\le 0$  

$m^2-2m+1\le 0$  

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0$  

${\sqrt{\Delta }}_m=0$  

$m_1=\frac{2}{2}=1$  

zatem:

$m=1$  

Wykluczamy tutaj warunek że  $g\left(x\right)=m{x}^2-\left(m+1\right)x+1$  jest funkcją,

liniową stale równą  $1$  ponieważ  $m$  nie może być jednocześnie równe  $0$  i  $-1$  

---

$d\text{)}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-\left(m+1\right)x+1}}$   

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji:

$m{x}^2-\left(m+1\right)x+1>0$  

Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych musi być spełniony warunek:

$\Delta <0$  

${\left(-\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot m\cdot 1\le 0$  

${\left(m+1\right)}^2-4m\le 0$  

$m^2+2m+1-4m\le 0$  

$m^2-2m+1\le 0$  

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0$  

zatem nie istnieje taka liczba  $m$  aby spełnione były warunki zadania

---

$e\text{)}f\left(x\right)=\sqrt{m{x}^2+4mx+m+3}$   

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji:

$m{x}^2+4mx+m+3\ge 0$  

Rozważmy 2 przypadki:

1) Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych musi być spełniony warunki:

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ {\left(4m\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(m+3\right)\le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 16m^2-4m^2-12m\le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 12m^2-12m\le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m^2-m\le 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\left(m-1\right)\le 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\in ⟨0,1⟩\end{array}$

zatem:

$m\in (0,1⟩$  

2) Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych może być to również funkcja liniowa, zatem:

$\{\begin{array}{l}m=0\\ 4m=0\\ m+3>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m=0\\ m=0\\ m>-3\end{array}$  

zatem:

$m=0$  

Odp.:  $m\in ⟨0,1⟩$  

---

$f\text{)}f\left(x\right)=\frac{1}{m}{x}^2+4mx+m+3$   

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji:

$1\text{)}m{x}^2+4mx+m+3>0\text{lub}2\text{)}m{x}^2+4mx+m+3<0$  

Aby dziedziną tej funkcji był zbiór liczb rzeczywistych musi być spełniony warunki:

$1\text{)}\{\begin{array}{l}m>0\\ \Delta <0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m>0\\ {\left(4m\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(m+3\right)<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m>0\\ 16m^2-4m^2-12m<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m>0\\ 12m^2-12m<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m>0\\ m^2-m\le 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m>0\\ m\left(m-1\right)\le 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m>0\\ m\in ⟨0,1⟩\end{array}$

zatem:

$m\in \left(0,1\right)$  

 

$2\text{)}\{\begin{array}{l}m<0\\ \Delta <0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m<0\\ {\left(4m\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(m+3\right)<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m<0\\ 16m^2-4m^2-12m<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m<0\\ 12m^2-12m<0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}m<0\\ m^2-m<0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m<0\\ m\left(m-1\right)<0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m<0\\ m\in \left(0,1\right)\end{array}$

zatem:

$m\in \varnothing$  

Odp.:  $m\in \left(0,1\right)$