Rozwiąż nierówność: - Zadanie 12.77: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) (x - 3) (x + 2) (x - 5) < 0$

Przyjmijmy, że:

$W (x) = (x - 3) (x + 2) (x - 5)$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu W.

$W (x) = 0$

$(x - 3) (x + 2) (x - 5) = 0$

$x - 3 = 0 lub x + 2 = 0 lub x - 5 = 0$

$x = 3 lub x = - 2 lub x = 5$

Rysujemy linię znaku wielomianu W i podajemy rozwiązanie nierówności W(x) < 0.

Zauważmy, że $a_{3} > 0$ .

$x \in (- \infty, - 2) \cup (3, 5)$

$b) (x + 4) (2 - x) (x - 3) > 0$

Przyjmijmy, że:

$W (x) = (x + 4) (2 - x) (x - 3)$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu W.

$W (x) = 0$

$(x + 4) (2 - x) (x - 3) = 0$

$x + 4 = 0 lub 2 - x = 0 lub x - 3 = 0$

$x = - 4 lub 2 = x lub x = 3$

Rysujemy linię znaku wielomianu W i podajemy rozwiązanie nierówności W(x) > 0.

Zauważmy, że $a_{3} < 0$ .

$x \in (- \infty, - 4) \cup (2, 3)$

$c) (x^{2} - 1) (x + 1) \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) (x + 1) \leq 0$

$(x - 1) (x + 1)^{2} \leq 0$

Przyjmijmy, że:

$W (x) = (x - 1) (x + 1)^{2}$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu W.

$W (x) = 0$

$(x - 1) (x + 1)^{2} = 0$

$x - 1 = 0 lub x + 1 = 0$

$x = 1 lub x = - 1$

Rysujemy linię znaku wielomianu W i podajemy rozwiązanie nierówności W(x) ≤ 0.

Zauważmy, że $a_{3} > 0$ oraz -1 jest pierwiastkiem podwójnym.

$x \in (- \infty, 1 ⟩$

$d) (x^{2} - 16) (x^{2} - 4) < 0$

$(x - 4) (x + 4) (x - 2) (x + 2) < 0$

Przyjmijmy, że:

$W (x) = (x - 4) (x + 4) (x - 2) (x + 2)$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu W.

$W (x) = 0$

$(x - 4) (x + 4) (x - 2) (x + 2) = 0$

$x - 4 = 0 lub x + 4 = 0 lub x - 2 = 0 lub x + 2 = 0$

$x = 4 lub x = - 4 lub x = 2 lub x = - 2$

Rysujemy linię znaku wielomianu W i podajemy rozwiązanie nierówności W(x) < 0.

Zauważmy, że $a_{4} > 0$ .

$x \in (- 4, - 2) \cup (2, 4)$

$e) x (1 - x) (x + 2) > 0$

Przyjmijmy, że:

$W (x) = x (1 - x) (x + 2)$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu W.

$W (x) = 0$

$x (1 - x) (x + 2) = 0$

$x = 0 lub 1 - x = 0 lub x + 2 = 0$

$x = 0 lub 1 = x lub x = - 2$

Rysujemy linię znaku wielomianu W i podajemy rozwiązanie nierówności W(x) > 0.

Zauważmy, że $a_{3} < 0$ .

$x \in (- \infty, - 2) \cup (0, 1)$

$f) x (1 - x) (x - 5) (x + 2) \geq 0$

Przyjmijmy, że:

$W (x) = x (1 - x) (x - 5) (x + 2)$

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu W.

$W (x) = 0$

$x (1 - x) (x - 5) (x + 2) = 0$

$x = 0 lub 1 - x = 0 lub x - 5 = 0 lub x + 2 = 0$

$x = 0 lub 1 = x lub x = 5 lub x = - 2$

Rysujemy linię znaku wielomianu W i podajemy rozwiązanie nierówności W(x) ≥ 0.

Zauważmy, że $a_{4} < 0$ .

$x \in ⟨ - 2, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, 5 ⟩$

Agnieszka Niesyczyńska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Własności pierwiastków i usuwanie niewymierności z mianownika

Premium

19:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.