$\text{a)}{x}^3-9x^2+23x-15<0$  

$x^3-3x^2-6x^2+18x+5x-15<0$  

$x^2\left(x-3\right)-6x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)<0$  

$\left(x-3\right)\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-6x+5\right)}}<0$  

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu V(x). 

$V\left(x\right)=x^2-6x+5$   

$x^2-6x+5=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$  

$x_1=\frac{-\left(-6\right)-4}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{-\left(-6\right)+4}{2\cdot 1}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Mamy więc: 

$\underset{W\left(x\right)}{\underbrace{\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x-5\right)}}<0$  

Rysujemy linię znaku wielomianu W(x). 

$\mathbf{x}\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(3,5\right)$  

 

---

$\text{b)}4x^3-7x+3>0$  

$4x^3-4x-3x+3>0$  

$4x\left(x^2-1\right)-3\left(x-1\right)>0$  

$4x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-3\left(x-1\right)>0$  

$\left(x-1\right)\left[4x\left(x+1\right)-3\right]>0$  

$\left(x-1\right)\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{\left(4x^2+4x-3\right)}}>0$  

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu V(x). 

$V\left(x\right)=4x^2+4x-3$   

$4x^2+4x-3=0$  

$\Delta =4^2-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=16+48=64$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$  

$x_1=\frac{-4-8}{2\cdot 4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$  

$x_2=\frac{-4+8}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$  

Mamy więc: 

$\left(x-1\right)\cdot 4\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)>0$  

$\underset{W\left(x\right)}{\underbrace{4\left(x-1\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}}>0$  

Rysujemy linię znaku wielomianu W(x). 

 

$\mathbf{x}\in \left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty \right)$  

 

---

$\text{c)}{x}^3-4x^2+x+6\le 0$  

$x^3-3x^2-x^2+3x-2x+6\le 0$  

$x^2\left(x-3\right)-x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\le 0$    

$\left(x-3\right)\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-x-2\right)}}\le 0$  

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu V(x). 

$V\left(x\right)=x^2-x-2$   

$x^2-x-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Mamy więc: 

$\underset{W\left(x\right)}{\underbrace{\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}\le 0$  

Rysujemy linię znaku wielomianu W(x). 

 

$\mathbf{x}\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨2,3⟩$  

---

 

$\text{d)}{x}^3+x-2<0$  

$x^3-x+2x-2<0$   

$x\left(x^2-1\right)+2\left(x-1\right)<0$  

$x\left(x+1\right)\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)<0$  

$\left(x-1\right)\left[x\left(x+1\right)+2\right]<0$  

$\left(x-1\right)\underset{V\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2+x+2\right)}}<0$  

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu V(x). 

$V\left(x\right)=x^2+x+2$   

$x^2+x+2=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$  

Brak pierwiastków. 

$\underset{W\left(x\right)}{\underbrace{\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)}}<0$  

Rysujemy linię znaku wielomianu W(x). 

$\mathbf{x}\in \left(-\infty ,1\right)$