Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$\left|AB\right|=18$  

$\left|AD\right|=\frac{1}{2}\cdot 18=9$  

$\left|AC\right|=\left|BC\right|=15$  

$\left|AE\right|=\left|BF\right|$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość środkowej CD:

${\left|CD\right|}^2+{\left|AD\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

${\left|CD\right|}^2={15}^2-9^2$  

${\left|CD\right|}^2=225-81$  

${\left|CD\right|}^2=144$  

$\left|CD\right|=12$  

 

Z twierdzenia o środkowych wiemy, że:

$\left|DS\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|CD\right|$  

$\left|DS\right|=\frac{1}{3}\cdot 12$  

$\left|DS\right|=4$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AS:

${\left|DS\right|}^2+{\left|AD\right|}^2={\left|AS\right|}^2$  

$4^2+9^2={\left|AS\right|}^2$  

$16+81={\left|AS\right|}^2$  

${\left|AS\right|}^2=97$  

$\left|AS\right|=\sqrt{97}$  

 

Obliczmy długość środkowej AE:

$\left|AE\right|=\frac{3}{2}\left|AS\right|$  

$\left|AE\right|=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{97}$  

więc:

$\left|BF\right|=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{97}$  

 

Odp.: Środkowe tego trójkąta mają długości 12, ³/₂√97, ³/₂√97.