Dziedziną funkcji tangens jest zbiór:

$\mathbb{R}\text{}\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbb{C}\right\}$  

Zakładamy więc, że:

$2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{C}$  

Podstawnie pomocnicze:

$\text{tg}3x=t$  

Mamy więc:

$3t^3-3t^2-t=-1\mid +1$  

$3t^3-3t^2-t+1=0$  

$3t^2\left(t-1\right)-\left(t-1\right)=0$  

$\left(t-1\right)\left(3t^2-1\right)=0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\left(t-1\right)\left(\sqrt{3}t+1\right)\left(\sqrt{3}t+1\right)=0$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, zatem:

$t-1=0\vee \sqrt{3}t+1=0\vee \sqrt{3}t-1=0$  

Zajmijmy się najpierw równaniem pierwszym.

$t-1=0\mid +1$  

$t=1$  

Mamy więc:

$\text{tg}2x=1$  

Podstawienie pomocnicze:

$2x=u,u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Wobec tego:

$\text{tg}u=1$  

Naszkicujemy wykres funkcji tangens i prostą y=1.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania tego równania.

$u=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Zatem:

$2x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{C}$  

Rozwiążemy teraz równanie drugie.

$\sqrt{3}t+1=0=0\mid -1$  

$\sqrt{3}t=-1\mid :\sqrt{3}$  

$t=-\frac{1}{\sqrt{3}}$  

$t=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Mamy więc:

$\text{tg}2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Podstawienie pomocnicze:

$2x=u,u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Wobec tego:

$\text{tg}u=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Naszkicujemy wykres funkcji tangens i prostą y=-√3/3.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania tego równania.

$u=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Zatem:

$2x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{C}$  

Rozwiążemy równanie trzecie.

$\sqrt{3}t-1=0=0\mid +1$  

$\sqrt{3}t=1\mid :\sqrt{3}$  

$t=\frac{1}{\sqrt{3}}$  

$t=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Mamy więc:

$\text{tg}2x=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Podstawienie pomocnicze:

$2x=u,u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Wobec tego:

$\text{tg}u=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Naszkicujemy wykres funkcji tangens i prostą y=√3/3.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania tego równania.

$u=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Zatem:

$2x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{C}$  

Wobec tego:

$x\in \left\{-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\right\},k\in \mathbb{C}$