Logarytmem log_ac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c:

${\log }_{a}c=b\iff a^b=c$  

---

Wyznaczymy dziedzinę funkcji f. Musimy zwrócić uwagę na kilka rzeczy:

---

(1) Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od 1.

$x^2+1>0\wedge x^2+1\ne 1$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej jest liczbą większą od 0.

$x\in \mathbb{R}\wedge x^2\ne 0$  

$x\in \mathbb{R}\wedge x\ne 0$  

Wobec tego:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}$  

---

(2) Liczba logarytmowana musi być liczbą dodatnią.

$\frac{x^2-9}{x-1}>0\mid \cdot {\left(x-1\right)}^2,x\ne 1$  

$\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)>0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\left(x+3\right)\left(x-3\right)\left(x-1\right)>0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji y=(x+3)(x-3)(x-1).

$\left(x+3\right)\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0$  

Iloczyn trzech liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, zatem: 

$x+3=0\vee x-3=0\vee x-1=0$  

$x=-3\vee x=3\vee x=1$  

Mamy sytuację jak na poniższym rysunku.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x\in \left(-3;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$  

---

(3) Mianownik ułamka musi być liczbą różną od 0, ponieważ zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Stąd dostajemy:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

---

Uwzględniając wszystkie wyniki, otrzymujemy, że:

$D_f=\left(-3;0\right)\cup \left(0;1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$