Wielomian w jest podzielny przez dwumian p(x)=x-m, więc w(m)=0.

$m^5-3m^3-m\cdot m^2+\left(m-2\right)\cdot m+n=0$  

$m^5-3m^3-m^3+m^2-2m+n=0$  

$m^5-4m^3+m^2-2m+n=0$  

---

Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian h(x)=x+2 wynosi -16, więc w(-2)=-16.

${\left(-2\right)}^5-3\cdot {\left(-2\right)}^3-m\cdot {\left(-2\right)}^2+\left(m-2\right)\cdot \left(-2\right)+n=-16$  

$-32-3\cdot \left(-8\right)-m\cdot 4-2\left(m-2\right)+n=-16$  

$-32-\left(-24\right)-4m-2m+4+n=-16$  

$-28+24-6m+n=-16$  

$-4-6m+n=-16\mid +4$  

$-6m+n=-12\mid +6m$  

$n=6m-12$  

---

Możemy więc zapisać równanie:

$m^5-4m^3+m^2-2m+6m-12=0$  

$m^5-4m^3+m^2+4m-12=0$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, a wyraz wolny to -12. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(m)=m⁵-4m³+m²+4m-12.

$\left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}$  

Obliczamy najpierw wartości wielomianu f w punktach będących liczbami całkowitymi leżącymi na osi liczbowej najbliżej 0.

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^5-4\cdot {\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)-12=-12$  

$f\left(1\right)=1^5-4\cdot 1^3+1^2+4\cdot 1-12=-10$  

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^5-4\cdot {\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-12=-16$  

$f\left(2\right)=2^5-4\cdot 2^3+2^2+4\cdot 2-12=0$  

Liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując metodę Hornera.

	$1$	$0$	$-4$	$1$	$4$	$-12$
$2$	$1$	$2$	$0$	$1$	$6$	$0$

 

$\left(m^5-4m^3+m^2+4m-12\right):\left(m-2\right)=m^4+2m^3+m+6\mid \cdot \left(m-2\right)$  

$m^5-4m^3+m^2+4m-12=\left(m^4+2m^3+m+6\right)\left(m-2\right)$  

Równanie, które chcemy rozwiązać, możemy więc zapisać w postaci:

$\left(m^4+2m^3+m+6\right)\left(m-2\right)=0$  

Zajmiemy się teraz wielomianem g(m)=m⁴+2m³+m+6. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, a wyraz wolny to 6. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu g.

$\left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

$g\left(-6\right)={\left(-6\right)}^4+2\cdot {\left(-6\right)}^3+\left(-6\right)+6\ne 0$  

$g\left(-3\right)={\left(-3\right)}^4+2\cdot {\left(-3\right)}^3+\left(-3\right)+6\ne 0$  

$g\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4+2\cdot {\left(-2\right)}^3+\left(-2\right)+6\ne 0$  

$g\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4+2\cdot {\left(-1\right)}^3+\left(-1\right)+6\ne 0$  

$g\left(1\right)=1^4+2\cdot 1^3+1+6\ne 0$  

$g\left(2\right)=2^4+2\cdot 2^3+2+6\ne 0$  

$g\left(3\right)=3^4+2\cdot 3^3+3+6\ne 0$  

$g\left(6\right)=6^4+2\cdot 6^3+6+6\ne 0$  

Wielomian g nie ma pierwiastków całkowitych.

Wobec tego nasze równanie ma jedno rozwiązanie:

$m-2=0$  

$m=2$  

---

Wyznaczamy wartość parametru n.

$n=6m-12=6\cdot 2-12=12-12=0$