Rozwiąż równanie ...- Zadanie 18: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) $2 x^{3} - x^{2} + 3 = 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 2, a wyraz wolny to 3. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(x)=2x³-x²+3.

${- 3, - \frac{3}{2}, - 1, - \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3}$

Obliczamy najpierw wartości funkcji f w punktach będących liczbami całkowitymi.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-3.

$f (- 3) = 2 \cdot (- 3)^{3} - (- 3)^{2} + 3 = 2 \cdot (- 27) - 9 + 3 = - 54 - 6 = - 60$

Liczba -3 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-1.

$f (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{3} - (- 1)^{2} + 3 = 2 \cdot (- 1) - 1 + 3 = - 2 + 2 = 0$

Liczba -1 jest miejscem zerowym wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując metodę Hornera.

	$2$	$- 1$	$0$	$3$
$- 1$	$2$	$- 3$	$3$	$0$

$(2 x^{3} - x^{2} + 3) : (x + 1) = 2 x^{2} - 3 x + 3 ∣ \cdot (x + 1)$

$2 x^{3} - x^{2} + 3 = (2 x^{2} - 3 x + 3) (x + 1)$

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci:

$(2 x^{2} - 3 x + 3) (x + 1) = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = - 15$

Ponieważ △ jest liczbą mniejszą od 0, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Mamy więc jedno rozwiązanie danego równania:

$x = - 1$

b) $5 x^{3} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 5, a wyraz wolny to -3. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(x)=5x³-2x²-3.

${- 3, - 1, - \frac{3}{5}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{3}{5}, 1, 3}$

Obliczamy najpierw wartości funkcji f w punktach będących liczbami całkowitymi.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-3.

$f (- 3) = 5 \cdot (- 3)^{3} - 2 \cdot (- 3)^{2} - 3 = 5 \cdot (- 27) - 2 \cdot 9 - 3 = - 135 - 18 - 3 = - 156$

Liczba -3 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-1.

$f (- 1) = 5 \cdot (- 1)^{3} - 2 \cdot (- 1)^{2} - 3 = 5 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1 - 3 = - 5 - 2 - 3 = - 10$

Liczba -1 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=1.

$f (1) = 5 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 3 = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 3 = 5 - 2 - 3 = 0$

Liczba 1 jest miejscem zerowym wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując metodę Hornera.

	$5$	$- 2$	$0$	$- 3$
$1$	$5$	$3$	$3$	$0$

$(5 x^{3} - 2 x^{2} - 3) : (x - 1) = 5 x^{2} + 3 x + 3 ∣ \cdot (x - 1)$

$5 x^{3} - 2 x^{2} - 3 = (5 x^{2} + 3 x + 3) (x - 1)$

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci:

$(5 x^{2} + 3 x + 3) (x - 1) = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 9 - 60 = 51$

Ponieważ △ jest liczbą mniejszą od 0, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Mamy więc jedno rozwiązanie danego równania:

$x = 1$

c) $x^{3} - 6 x - 4 = 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, a wyraz wolny to 4. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(x)=x³-6x-4.

${- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}$

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-4.

$f (- 4) = (- 4)^{3} - 6 \cdot (- 4) - 4 = - 64 + 24 - 4 = - 44$

Liczba -4 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-2.

$f (- 2) = (- 2)^{3} - 6 \cdot (- 2) - 4 = - 8 + 12 - 4 = 0$

Liczba -2 jest miejscem zerowym wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując metodę Hornera.

	$1$	$0$	$- 6$	$- 4$
$- 2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$0$

$(x^{3} - 6 x - 4) : (x + 2) = x^{2} - 2 x - 2 ∣ \cdot (x + 2)$

$x^{3} - 6 x - 4 = (x^{2} - 2 x - 2) (x + 2)$

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci:

$(x^{2} - 2 x - 2) (x + 2) = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 4 + 8 = 12$

Wyznaczamy miejsca zerowe.

$x_{1} = \frac{- ( - 2 ) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2 3}{2} = 1 - 3$

$x_{2} = \frac{- ( - 2 ) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2 3}{2} = 1 + 3$

Dane równanie ma zatem trzy rozwiązania:

$x \in {- 2, 1 - 3, 1 + 3}$

d) $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, a wyraz wolny to -6. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(x)=x³-6x²+11x-6.

${- 6, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 6}$

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-6.

$f (- 6) = (- 6)^{3} - 6 \cdot (- 6)^{2} + 11 \cdot (- 6) - 6 = - 216 - 6 \cdot 36 - 66 - 6 = - 216 - 216 - 72 = - 72$

Liczba -6 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-3.

$f (- 3) = (- 3)^{3} - 6 \cdot (- 3)^{2} + 11 \cdot (- 3) - 6 = - 27 - 6 \cdot 9 - 33 - 6 = - 27 - 54 - 39 = - 120$

Liczba -3 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-2.

$f (- 2) = (- 2)^{3} - 6 \cdot (- 2)^{2} + 11 \cdot (- 2) - 6 = - 8 - 6 \cdot 4 - 22 - 6 = - 8 - 24 - 28 = - 60$

Liczba -2 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-1.

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 6 \cdot (- 1)^{2} + 11 \cdot (- 1) - 6 = - 1 - 6 \cdot 1 - 11 - 6 = - 1 - 6 - 17 = - 24$

Liczba -1 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=1.

$f (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 \cdot 1 + 11 - 6 = 1 - 6 + 5 = 0$

Liczba 1 jest miejscem zerowym wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując metodę Hornera.

	$1$	$- 6$	$11$	$- 6$
$1$	$1$	$- 5$	$6$	$0$

$(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) : (x - 1) = x^{2} - 5 x + 6 ∣ \cdot (x - 1)$

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x^{2} - 5 x + 6) (x - 1)$

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci:

$(x^{2} - 5 x + 6) (x - 1) = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Wyznaczamy miejsca zerowe.

$x_{1} = \frac{- ( - 5 ) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{- ( - 5 ) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Dane równanie ma zatem trzy rozwiązania:

$x \in {1, 2, 3}$

e) $3 x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 3, a wyraz wolny to -2. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(x)=3x³+x²+x-2.

${- 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 2}$

Obliczamy najpierw wartości funkcji f w punktach będących liczbami całkowitymi.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-2.

$f (- 2) = 3 \cdot (- 2)^{3} + (- 2)^{2} + (- 2) - 2 = 3 \cdot (- 8) + 4 - 2 - 2 = - 24$

Liczba -2 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=2.

$f (2) = 3 \cdot 2^{3} + 2^{2} + 2 - 2 = 3 \cdot 8 + 4 + 2 - 2 = 24$

Liczba 2 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-2/3.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (- \frac{2}{3})^{3} + (- \frac{2}{3})^{2} + (- \frac{2}{3}) - 2 = 3 \cdot (- \frac{8}{27}) + \frac{4}{9} - \frac{2}{3} - 2 = - \frac{8}{9} + \frac{4}{9} - \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = - \frac{28}{9}$

Liczba -2/3 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=2/3.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{3} + (\frac{2}{3})^{2} + \frac{2}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{8}{27} + \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{9} + \frac{4}{9} + \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = 0$

Liczba 2/3 jest miejscem zerowym wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując metodę Hornera.

	$3$	$1$	$1$	$- 2$
$\frac{2}{3}$	$3$	$3$	$3$	$0$

$(3 x^{3} + x^{2} + x - 2) : (x - \frac{2}{3}) = 3 x^{2} + 3 x + 3 ∣ \cdot (x - \frac{2}{3})$

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2 = (3 x^{2} + 3 x + 3) (x - \frac{2}{3})$

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci:

$(3 x^{2} + 3 x + 3) (x - \frac{2}{3}) = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 9 - 36 = - 27$

Ponieważ △ jest liczbą mniejszą od 0, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Mamy więc jedno rozwiązanie danego równania:

$x = \frac{2}{3}$

f) $4 x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 4, a wyraz wolny to 2. Sprawdzamy, która z liczb należących do poniższego zbioru jest miejscem zerowym wielomianu f(x)=4x³-7x²+6x+2.

${- 2, - 1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2}$

Obliczamy najpierw wartości funkcji f w punktach będących liczbami całkowitymi.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-2.

$f (- 2) = 4 \cdot (- 2)^{3} - 7 \cdot (- 2)^{2} + 6 \cdot (- 2) + 2 = 4 \cdot (- 8) - 7 \cdot 4 - 12 + 2 = - 32 - 28 - 10 = - 70$

Liczba -2 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-1.

$f (- 1) = 4 \cdot (- 1)^{3} - 7 \cdot (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) + 2 = 4 \cdot (- 1) - 7 \cdot 1 - 6 + 2 = - 4 - 7 - 6 + 2 = - 15$

Liczba -1 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=1.

$f (1) = 4 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + 2 = 4 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 6 + 2 = 4 - 7 + 6 + 2 = - 3 + 6 + 2 = 5$

Liczba 1 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=2.

$f (2) = 4 \cdot 2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 + 2 = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 4 + 12 + 2 = 32 - 28 + 14 = 18$

Liczba 2 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-1/2.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - 7 \cdot (- \frac{1}{2})^{2} + 6 \cdot (- \frac{1}{2}) + 2 = 4 \cdot (- \frac{1}{8}) - 7 \cdot \frac{1}{4} - 3 + 2 = - \frac{1}{2} - \frac{7}{4} - 1 = - \frac{13}{4}$

Liczba -1/2 nie jest miejscem zerowym wielomianu.

Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x=-1/4.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 \cdot (- \frac{1}{4})^{3} - 7 \cdot (- \frac{1}{4})^{2} + 6 \cdot (- \frac{1}{4}) + 2 = 4 \cdot (- \frac{1}{64}) - 7 \cdot \frac{1}{16} - \frac{3}{2} + 2 = - \frac{1}{16} - \frac{7}{16} - \frac{1}{2} = \frac{8}{16} - \frac{8}{16} = 0$