Treść:

Wartość wyrażenia  ${\log }_{4}8+5{\log }_{4}2$  jest równa:

A. $2$  

B. $4$  

C. $2+{\log }_{4}5$  

D. $1+{\log }_{4}10$  

---

Rozwiązanie:

Dla dowolnych liczb $x>0\text{i}y>0$  oraz $r$  zachodzą wzory:

$\left(1\right){\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x\cdot y\right)$  

$\left(2\right)r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$  

Stąd otrzymujemy:

${\log }_{4}8+5{\log }_{4}2\stackrel{\left(2\right)}{=}{\log }_4{2}^3+{\log }_4{2}^5\stackrel{\left(1\right)}{=}{\log }_4\left(2^3\cdot 2^5\right)={\log }_4{2}^{3+5}={\log }_4{2}^8=$  

$={\log }_4{2}^{2\cdot 4}={\log }_4{\left(2^2\right)}^4={\log }_4{4}^4=4$  

Odpowiedź: B