$x^2+\left(m+1\right)x-2=0$  

 

$a=1$  

$b=m+1$  

$c=-2$  

   

Równanie kwadratowe posiada dwa pierwiastki, gdy  $\Delta >0$  .

$\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=m^2+2m+1+8=m^2+2m+9$  

$m^2+2m+9>0$  

 

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji  $y=m^2+2m+9$  

${\Delta }_m=2^2-4\cdot 1\cdot 9=4-36=-32<0$   - a więc funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Parabola, będąca wykresem tej funkcji, ma ramiona skierowane w górę - a więc wykres w całości znajduje się nad osią - a więc nierówność  $m^2+2m+9>0$   jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą:

       

 

A zatem początkowe równanie  $x^2+\left(m+1\right)x-2=0$   posiada dwa pierwiastki dla każdego  $m\in \mathbb{R}$  .