a)

$y=x^2-1\frac{1}{4}x-1\frac{1}{2}$  

 

$\Delta ={\left(-\frac{5}{4}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{16}+\frac{12}{2}=\frac{25}{16}+\frac{96}{16}=\frac{121}{16}$  

$\sqrt{\Delta }=\frac{11}{4}$  

 

$x_1=\frac{\frac{5}{4}+\frac{11}{4}}{2\cdot 1}=\frac{\frac{16}{4}}{2}=\frac{4}{2}=2$  

 

$x_2=\frac{\frac{5}{4}-\frac{11}{4}}{2\cdot 1}=\frac{-\frac{6}{4}}{2}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$  

 

$y=\left(x-2\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$  

 

b)

$y=x^2-\frac{1}{4}$  

 

$\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=0+1=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

 

$x_1=\frac{0-1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{2}$  

 

$x_2=\frac{0+1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$  

 

$y=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$   

 

c)

$y=x^2-6x+9$    

 

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$  

$\sqrt{\Delta }=0$  

 

$x_0=\frac{6-0}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

 

$y={\left(x-3\right)}^2$  

 

d)

$y=2x^2-5x+4$  

 

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 4=25-32=-7<0$   - funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli nie możemy jej zapisać w postaci iloczynowej

 

e)

$y=x^2-2\frac{1}{2}x-6$  

 

$\Delta ={\left(-\frac{5}{2}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=\frac{25}{4}+24=\frac{25}{4}+\frac{96}{4}=\frac{121}{4}$  

$\sqrt{\Delta }=\frac{11}{2}$  

 

$x_1=\frac{\frac{5}{2}-\frac{11}{2}}{2\cdot 1}=\frac{-\frac{6}{2}}{2}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$  

 

$x_2=\frac{\frac{5}{2}+\frac{11}{2}}{2\cdot 1}=\frac{\frac{16}{2}}{2}=\frac{8}{2}=4$  

 

$y=\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-4\right)$  

 

f)

$y=x^2-\frac{1}{9}x$  

 

$\Delta ={\left(-\frac{1}{9}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 0=\frac{1}{81}$  

$\sqrt{\Delta }=\frac{1}{9}$  

 

$x_1=\frac{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}{2}=\frac{\frac{2}{9}}{2}=\frac{1}{9}$  

 

$x_1=\frac{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}}{2}=\frac{0}{2}=0$  

 

$y=\left(x-0\right)\left(x-\frac{1}{9}\right)=x\left(x-\frac{1}{9}\right)$  

 

g)

$y=-3x^2+x-1$  

 

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-1\right)=1-12=-11<0$   - funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli nie możemy zapisać jej wzoru w postaci iloczynowej

 

h)

$y=-x^2+8x-16$  

 

$\Delta =8^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-16\right)=64-64=0$  

 

$x_0=\frac{-8+0}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-8}{-2}=4$  

 

$y=-{\left(x-4\right)}^2$