Dany jest wielomian:

$W\left(x\right)=x^3+px+q$  

Wiemy, że wielomian  $W\left(x\right)$  ma trzy różne pierwiastki  $x_1,x_2,x_3,$  zatem możemy skorzystać ze wzorów podanych w zadaniu $326$   na stronie $67$ : 

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=p\end{array}$  

Zauważmy, że:

$x_1+x_2+x_3=0\mid {}^2$  

${\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2=0$  

$\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(x_1+x_2+x_3\right)=0$  

$x_1^2+x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_2+x_2^2+x_2{x}_3+x_3{x}_1+x_3{x}_2+x_3^2=0$  

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3=0$  

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\cdot \left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)=0$  

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+2p=0$  

$2p=-\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)$  

Liczba  $-\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)$  jest ujemna, ponieważ liczby  $x_1,x_2,x_3$  są różne oraz suma kwadratów różnych liczb rzeczywistych jest liczbą dodatnią, zatem liczba  $2p$  również jest ujemna, więc liczba  $p$  musi być liczbą ujemną.

c.n.u.