Dane jest równanie:

$\left(m-2\right)x^4-2\left(m+3\right)x^2+m+1=0$  

Stosujemy podstawienie:

$x^2=t,t\ge 0$  

Aby równanie $\left(m-2\right)x^4-2\left(m+3\right)x^2+m+1=0$  miało cztery różne pierwiastki równanie  $\left(m-2\right)t^2-2\left(m+3\right)t+m+1=0$  

powinno mieć dwa dodatnie rozwiązania, zatem muszą być spełnione warunki:

$1\text{)}m-2\ne 0$  

$m\ne 2$  

$2\text{)}\Delta >0$  

${\left(-2\left(m+3\right)\right)}^2-4\cdot \left(m-2\right)\left(m+1\right)>0$  

$4{\left(m+3\right)}^2-4\left(m^2+m-2m-2\right)>0$  

$4\left(m^2+6m+9\right)-4\left(m^2-m-2\right)>0$  

$4m^2+24m+36-4m^2+4m+8>0$  

$28m+44>0$  

$28m>-44$  

$m>-\frac{11}{7}$  

$3\text{)}\frac{m+1}{m-2}>0$  

$\left(m+1\right)\left(m-2\right)>0$  

$m\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$4\text{)}-\frac{-2\left(m+3\right)}{m-2}>0$  

$\frac{2\left(m+3\right)}{m-2}>0$  

$2\left(m+3\right)\left(m-2\right)>0$  

$\left(m+3\right)\left(m-2\right)>0$  

$m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

Biorąc pod uwagę rozwiązania warunków: 1), 2), 3) i 4) otrzymujemy, że:

$m\in \left(2,+\infty \right)$