Dane jest równanie:

$\left(x+2\right)\left[\left(m+1\right)x^2-4mx+m+1\right]=0$  

Rozwiążmy podane równanie:

$x+2=0\text{lub}\left(m+1\right)x^2-4mx+m+1=0$  

$x=-2\text{lub}\left(m+1\right)x^2-4mx+m+1=0$  

Aby równanie  $\left(x+2\right)\left[\left(m+1\right)x^2-4mx+m+1\right]=0$  miało trzy rozwiązania równanie  $\left(m+1\right)x^2-4mx+m+1=0$  musi mieć dwa rozwiązania różne od  $-2,$  czyli muszą być spełnione pięć warunków:

$1\text{)}m+1\ne 0$  

$m\ne -1$  

$2\text{)}\Delta >0$  

${\left(-4m\right)}^2-4\cdot \left(m+1\right)\left(m+1\right)>0$  

$16m^2-4{\left(m+1\right)}^2>0$  

$16m^2-4\cdot \left(m^2+2m+1\right)>0$  

$16m^2-4m^2-8m-4>0$  

$12m^2-8m-4>0$  

$3m^2-2m-1>0$  

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16,{\sqrt{\Delta }}_m=4$  

$m_1=\frac{2-4}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$  

$m_2=\frac{2+4}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$  

Więc:

$m\in \left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$3\text{)}\frac{m+1}{m+1}>0$  

$1>0$  

$m\in \mathbb{R}$  

$4\text{)}\frac{4m}{m+1}<0$  

$4m\left(m+1\right)<0$  

$m\left(m+1\right)<0$  

$m\in \left(-1,0\right)$  

$5\text{)}\left(m+1\right)\cdot {\left(-2\right)}^2-4m\cdot \left(-2\right)+m+1\ne 0$  

$4m+4+8m+m+1\ne 0$  

$13m+5\ne 0$  

$13m\ne -5$  

$m\ne -\frac{5}{13}$  

Warunki 1), 2), 3), 4) i 5) są jednocześnie spełnione dla:

$m\in \left(-1,-\frac{5}{13}\right)\cup \left(-\frac{5}{13},-\frac{1}{3}\right)$