4 szkoły ponadpodstawowej

5 szkoły ponadpodstawowej

IV technikum

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Z rysunku możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu  W(x)  to: −2,1,3,5   Zatem wielomian  W(x)  ma postać:

Rozwiązanie 1

Dany jest wielomian: W(x)=x4−πx2+2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​   Stosujemy podstawienie: t=x2,t≥0 W(t)=t2−πt+2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

Dany jest wielomian: W(x)=x4+2x3+5x2+4x+3   Zapiszmy podany wielomian w postaci iloczynu dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych:

Dany jest wielomian: W(x)=x3+ax2+x+c     Wielomian  W(x)  jest podzielny przez wielomian  V(x)=x  , zatem wyraz wolny

Dany jest wielomian:   W(x)=x3−4x2+x+4   Przy dzieleniu przez dwumian  x+a  reszta wynosi  a,  więc: W(−a)=a

Dany jest wielomian: W(x)=2x3+x+1   a) Załóżmy, że istnieje liczba liczba  x0​&gt;0  taka, że W(x0​)=0   Wówczas:

Dany jest wielomian: W(x)=x3+4x+p   Wielomian  W(x)  ma pierwiastek całkowity, zatem z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu  W(x)  wiemy, że

Dany jest wielomian: W(x)=x5−5x3+4x   Zapiszmy wielomian  W(x)   postaci iloczynowej: W(x)=x⋅(x4−5x2+4)   Rozkładamy trójmian będący w nawiasie na czynniki. Stosujemy podstawienie:

Wielomian ten jest postaci: W(x)=21​(x−1)(x−3)(x−5)   Wprowadźmy oznaczenie:

Dane jest równanie: x(x+1)(x+2)=20153   Zauważmy, że po lewej stronie tego równania znajduje się iloczyn trzech kolejnych liczb:

Zakładamy, że istnieje wielomian trzeciego stopnia postaci:   W(x)=ax3+bx2+cx+d   gdzie:

Mamy uzasadnić, że dla x∈R  prawdziwa jest nierówność: x4+2x2+26&gt;2x3+10x   Zapiszmy podaną nierówność w innej postaci:

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2021

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2022

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2017. Arkusz poprawkowy

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020.

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2023

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2023. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2023. Formuła 2015

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2024

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018. Drugi termin

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2023

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2023. Formuła 2015

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2024

Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony. Arkusz pokazowy. Marzec 2022

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy. Arkusz pokazowy. Marzec 2022

Informator o egzaminie maturalnym z matematyki  jako przedmiotu dodatkowego (poziom rozszerzony) od roku szkolnego 2022/2023

Informator o egzaminie maturalnym z matematyki  jako przedmiotu obowiązkowego (poziom podstawowy) od roku szkolnego 2022/2023

MATeMAtyka 4. Maturalne karty pracy ze zbiorem zadań. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 4. Maturalne karty pracy ze zbiorem zadań. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy. Edycja 2024

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 4. Zakres podstawowy

Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 2

Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy

Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy

Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Matematyka z plusem 4. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka. Próbne arkusze maturalne. Zestaw 1. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbiór Zadań Maturalnych Lata 2002-2022. Poziom rozszerzony 500 zadań CKE z rozwiązaniami

Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2002-2023. Poziom rozszerzony. 545 zadań Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z rozwiązaniami

Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2010-2022. Poziom podstawowy. 959 zadań Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z rozwiązaniami

Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2010-2023. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część II

Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom podstawowy

Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom rozszerzony

Nowa matura z matematyki. Arkusze. Zakres podstawowy i rozszerzony

Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom podstawowy

Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Powtórka do matury z matematyki 2024

Prosto do matury 4. Zakres podstawowy

Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom podstawowy. Po gimnazjum

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Test diagnostyczny z  Matematyki. Poziom podstawowy 2022/2023. Arkusz próbny

Test diagnostyczny z Matematyki. Poziom podstawowy. Grudzień 2022. Arkusz próbny

Test diagnostyczny z Matematyki. Poziom rozszerzony. Grudzień 2022. Arkusz próbny

366