Dane są wielomiany:
W(x)=2x3+bx2+cx+18
V(x)=4x3+dx2+ex+27
gdzie:
b,c,d,e∈C
Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych, wiemy, że wymierne dodatnie pierwiastki wielomianu:
- W(x) znajdują się w zbiorze:
{21,1,23,3,6,29,9,18}
- V(x) znajdują się w zbiorze:
{41,21,1,43,23,3,49,29,9,427,227,27
Pierwiastki wspólne tych wielomianów należące do przedziału (1,4) to:
{23,3}
Obliczmy wartości współczynników b i c we wzorze wielomianu W(x):
{0=2⋅(23)3+b⋅(23)2+c⋅23+180=2⋅33+b⋅32+c⋅3+18
{0=2⋅827+b⋅49+c⋅23+180=54+9b+3c+18
{0=427+b⋅49+c⋅23+180=72+9b+3c
{0=27+9b+6c+720=24+3b+c
{0=9b+6c+990=24+3b+c
{0=3b+2c+33c=−24−3b
{0=3b+2⋅(−24−3b)+33c=−24−3b
{0=3b−48−6b+33c=−24−3b
{0=−3b−15c=−24−3b
{0=b+5c=−24−3b
{b=−5c=−24−3⋅(−5)
{b=−5c=−24+15
{b=−5c=−9
Zatem wielomian W(x) jest postaci:
W(x)=2x3−5x2−9x+18
Oznaczamy:
x3 -trzeci pierwiastek wielomianu W(x)
2x3−5x2−9x+18=2(x−23)(x−3)(x−x3)
2x3−5x2−9x+18=(2x−3)(x−3)(x−x3)
2x3−5x2−9x+18=(2x2−6x−3x+9)(x−x3)
2x3−5x2−9x+18=(2x2−9x+9)(x−x3)
2x3−5x2−9x+18=2x3−2x3x2−9x2+9x3x+9x−9x3
2x3−5x2−9x+18=2x3−(2x3−9)x2+(9x3+9)x−9x3
Zatem:
18=−9x3
x3=−2
Odp.: Pierwiastki wielomianu W(x) to: -2, 3/2, 3.