Dany jest wielomian:

$W\left(x\right)=x^3-3x^2+ax+b$  

Wiemy, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian  $x-\sqrt{5}$  zatem:

$W\left(\sqrt{5}\right)=0$   

oraz:

$a,b\in \mathbb{C}$  

 

Wyznaczmy wartości współczynników  $a$  i  $b:$  

${\left(\sqrt{5}\right)}^3-3\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^2+a\cdot \sqrt{5}+b=0$  

$5\sqrt{5}-3\cdot 5+\sqrt{5}a+b=0$  

$\sqrt{5}\left(5+a\right)-15+b=0$  

$\sqrt{5}\left(5+a\right)=15-b$  

Liczby $a,b$  są całkowite, więc podane równanie ma rozwiązanie tylko wtedy gdy:

$\sqrt{5}\left(5+a\right)=0\text{i}15-b=0$  

$5+a=0\text{i}b=15$  

Jedyne rozwiązanie to:

$a=-5\text{i}b=15$  

 

Odp.: Szukane wartości współczynników to a=-5 i b=15.