Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=2x^3+b{x}^2+cx+1$  

We wzorze funkcji f występują jedynie współczynniki całkowite, zatem miejsca zerowe funkcji f znajdują się w zbiorze:

$\left\{-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right\}$  

(miejsca zerowe funkcji f wyznaczyliśmy na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych)

Funkcja f ma dwa ujemne wymierne pierwiastki, więc:

$\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=0\\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot {\left(-1\right)}^3+b\cdot {\left(-1\right)}^2+c\cdot \left(-1\right)+1=0\\ 2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+b\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+c\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2+b-c+1=0\\ -\frac{1}{4}+\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b-c-1=0\\ -1+b-2c+4=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b-c-1=0\\ b-2c+3=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=1+c\\ 1+c-2c+3=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=1+c\\ 1-c+3=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=1+c\\ c=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=1+4\\ c=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ c=4\end{array}$

 

Wzór funkcji f jest postaci:

$f\left(x\right)=2x^3+5x^2+4x+1$  

 

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=2x^3+5x^2+4x+1=2x^2+x^2+4x^2+2x+2x+1=$  

$=x^2\left(2x+1\right)+2x\left(2x+1\right)+2x+1=\left(2x+1\right)\left(x^2+2x+1\right)=$  

$=\left(2x+1\right){\left(x+1\right)}^2=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right){\left(x+1\right)}^2$  

 

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji f:

Z rysunku możemy odczytać, że funkcja f przyjmuje wartości nieujemne dla:

$x\in \left\{-1\right\}\cup ⟨-\frac{1}{2},+\infty )$